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도림동 고2수학과외

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교점 하나만 보고 판단한 풀이

학생은 두 함수 \(f(x)=2^x\), \(g(x)=2^{x-1}+2\)의 그래프가 \((2,4)\)에서 만나는 것을 확인한 뒤 다음과 같이 적었다.

“교점에서 두 함수의 값이 같으므로, 모든 실수 \(x\)에서 두 함수의 크기도 같다.”

교점은 특정한 한 \(x\)에서 함수값이 같다는 뜻일 뿐이다. 교점 전후로 어느 그래프가 위에 있는지는 별도로 비교해야 한다. 도림동과외에서 이런 오류를 줄이려면 교점의 좌표와 구간별 대소 관계를 나누어 기록하는 습관이 필요하다.

교점의 위치 계산

교점에서는 \(f(x)=g(x)\)이므로

\[ 2^x=2^{x-1}+2 \]

\(2^x=2\cdot2^{x-1}\)이므로

\[ 2^{x-1}=2=2^1 \]

따라서 \(x=2\), \(y=2^2=4\)이다. 두 그래프의 교점은 \((2,4)\)이다.

교점 전후의 대소 관계

두 함수의 차를 계산하면

\[ f(x)-g(x)=2^x-(2^{x-1}+2)=2^{x-1}-2 \]

  • \(x<2\)이면 \(2^{x-1}<2\)이므로 \(f(x)-g(x)<0\), 즉 \(f(x)<g(x)\)이다.
  • \(x=2\)이면 \(f(x)=g(x)=4\)이다.
  • \(x>2\)이면 \(2^{x-1}>2\)이므로 \(f(x)-g(x)>0\), 즉 \(f(x)>g(x)\)이다.

수평이동된 지수함수에 적용하기

이번에는 \(p(x)=2^x+1\), \(q(x)=2^{x-1}+3\)을 비교해 보자. 두 함수의 교점은

\[ 2^x+1=2^{x-1}+3 \]

이므로 \(2^{x-1}=2\), \(x=2\)이다. 이때 함수값은 \(5\)이므로 교점은 \((2,5)\)이다.

부분 풀이 완성

\[ p(x)-q(x)=2^{x-1}-2 \]

따라서 빈칸은 다음과 같이 채운다.

  • \(x<2\)일 때: \(p(x)<q(x)\)
  • \(x=2\)일 때: \(p(x)=q(x)\)
  • \(x>2\)일 때: \(p(x)>q(x)\)

앞선 함수와 교점의 기준값은 같지만, 두 함수가 위로 1만큼 이동했기 때문에 교점의 \(y\)좌표만 \(4\)에서 \(5\)로 달라졌다. 대소 관계를 판단할 때는 그래프의 위치를 막연히 보는 대신 두 함수의 차의 부호를 확인해야 한다.

최종 확인

\(x=1\)을 대입하면 \(p(1)=3\), \(q(1)=4\)이므로 \(p<q\)이다. \(x=3\)을 대입하면 \(p(3)=9\), \(q(3)=7\)이므로 \(p>q\)이다. 교점 \(x=2\)를 기준으로 그래프의 위아래가 바뀐다는 결론과 일치한다.

도림동 고2수학과외 학부모 후기

빈칸 문제를 풀다가 답을 확인하는 대신, 원래 시험지에 틀린 이유를 짧게 적어두더라고요. 그 부분만 다시 살펴보고 다른 내용까지 덧붙이지 않는 모습이 의외로 눈에 띄었어요. 예전에는 문제를 다 푼 뒤 따로 확인할 흔적을 남기지 않아서, 나중에 어디를 봐야 할지 알기 어려웠거든요. 도림동 수학과외를 알아보던 중 집에서 시험지를 파일에 넣는 모습을 봤는데, 그냥 지나치지 않고 틀린 문제마다 유형별 자료를 새로 만들지는 않았어요. 대신 시험지 원본에 이유만 간단히 적어두고, 다시 볼 곳을 바로 찾을 수 있게 해놨더라고요. 예전처럼 공부가 끝났다는 표시만 남기는 게 아니라, 틀린 지점에 짧은 메모가 남아 있었습니다.

★★★★☆학부모 후기

다음 수행평가 자료를 챙기던 날, 아이가 문제의 숫자 몇 개를 손으로 가린 채 같은 풀이를 다시 적고 있더라고요. 답을 새로 외우는 게 아니라 숫자가 달라져도 처음 했던 판단이 맞는지 확인하는 모습이었어요. 마지막에는 확인한 자리에 작은 표시까지 남겨 두었습니다. 수학 수업 전날 저녁에도 비슷한 장면을 보게 됐어요. 문제집을 펼쳐 놓고 같은 문제를 숫자만 가린 상태로 다시 풀어 보더라고요. 예예전에는 틀린 부분이 보여도 풀이 중 어디에서 판단이 달라졌는지는 따로 남기지 않았거든요. 이번에는 처음 판단이 바뀐 지점을 찾아 표시하면서 계산 과정을 다시 살폈어요. 도림동 수학과외를 이야기하던 중에도 저는 이 장면이 가장 눈에 들어왔고, 답을 맞혔는지보다 자기 풀이를 다시 확인하는 방식이 달라졌다는 점이 보였습니다.

★★★★★학부모 후기

도림동에서 수학 과외를 받으며 시험이 다가오면 숙제를 뒤로 미루던 습관이 조금씩 달라졌습니다. 주말에 늦잠을 잔 날에도 선생님과 수업 시간을 조정한 뒤, 막힌 문제를 따로 표시하고 숙제부터 시작하게 됐어요. 선생님은 결과만 보지 않고 수업 중 태도와 이해 정도를 부모님께 전해 주셔서 무리하지 않고 차근차근 복습할 수 있었습니다.

★★★★☆학부모 후기

도림동에 사는 아이가 시험 일주일 전 저녁에도 수업 준비를 미루지 않고 책상에 앉아 있는 모습이 먼저 눈에 들어왔습니다. 예전에는 어려운 문제만 나오면 답지를 찾았지만, 선생님이 중간중간 부담 없이 질문을 이끌고 그날 할 일과 다음에 볼 내용을 나눠 주셔서 모르는 부분을 직접 물어보기 시작했습니다. 몇 차례 지나니 시험기간에도 공부 흐름을 크게 놓치지 않아 부모로서 안심이 됩니다.

★★★★★학부모 후기

주말마다 공부 계획을 세울 때 선생님께 먼저 이야기해 보면서, 도림동에서 받는 수업이 단순히 문제만 푸는 시간이 아니라는 생각이 들었습니다. 숙제를 확인할 때도 틀린 문제를 왜 그렇게 풀었는지 차분히 물어봐 주셔서 막힌 부분을 숨기지 않게 됐고, 몇 주 지나니 해야 할 분량을 스스로 살펴보고 시작하는 날이 늘었습니다.

★★★★☆학부모 후기