도림동 고2수학과외







교점 하나만 보고 판단한 풀이
학생은 두 함수 \(f(x)=2^x\), \(g(x)=2^{x-1}+2\)의 그래프가 \((2,4)\)에서 만나는 것을 확인한 뒤 다음과 같이 적었다.
“교점에서 두 함수의 값이 같으므로, 모든 실수 \(x\)에서 두 함수의 크기도 같다.”
교점은 특정한 한 \(x\)에서 함수값이 같다는 뜻일 뿐이다. 교점 전후로 어느 그래프가 위에 있는지는 별도로 비교해야 한다. 도림동과외에서 이런 오류를 줄이려면 교점의 좌표와 구간별 대소 관계를 나누어 기록하는 습관이 필요하다.
교점의 위치 계산
교점에서는 \(f(x)=g(x)\)이므로
\[ 2^x=2^{x-1}+2 \]
\(2^x=2\cdot2^{x-1}\)이므로
\[ 2^{x-1}=2=2^1 \]
따라서 \(x=2\), \(y=2^2=4\)이다. 두 그래프의 교점은 \((2,4)\)이다.
교점 전후의 대소 관계
두 함수의 차를 계산하면
\[ f(x)-g(x)=2^x-(2^{x-1}+2)=2^{x-1}-2 \]
- \(x<2\)이면 \(2^{x-1}<2\)이므로 \(f(x)-g(x)<0\), 즉 \(f(x)<g(x)\)이다.
- \(x=2\)이면 \(f(x)=g(x)=4\)이다.
- \(x>2\)이면 \(2^{x-1}>2\)이므로 \(f(x)-g(x)>0\), 즉 \(f(x)>g(x)\)이다.
수평이동된 지수함수에 적용하기
이번에는 \(p(x)=2^x+1\), \(q(x)=2^{x-1}+3\)을 비교해 보자. 두 함수의 교점은
\[ 2^x+1=2^{x-1}+3 \]
이므로 \(2^{x-1}=2\), \(x=2\)이다. 이때 함수값은 \(5\)이므로 교점은 \((2,5)\)이다.
부분 풀이 완성
\[ p(x)-q(x)=2^{x-1}-2 \]
따라서 빈칸은 다음과 같이 채운다.
- \(x<2\)일 때: \(p(x)<q(x)\)
- \(x=2\)일 때: \(p(x)=q(x)\)
- \(x>2\)일 때: \(p(x)>q(x)\)
앞선 함수와 교점의 기준값은 같지만, 두 함수가 위로 1만큼 이동했기 때문에 교점의 \(y\)좌표만 \(4\)에서 \(5\)로 달라졌다. 대소 관계를 판단할 때는 그래프의 위치를 막연히 보는 대신 두 함수의 차의 부호를 확인해야 한다.
최종 확인
\(x=1\)을 대입하면 \(p(1)=3\), \(q(1)=4\)이므로 \(p<q\)이다. \(x=3\)을 대입하면 \(p(3)=9\), \(q(3)=7\)이므로 \(p>q\)이다. 교점 \(x=2\)를 기준으로 그래프의 위아래가 바뀐다는 결론과 일치한다.