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도림동 고2수학과외

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교점 하나만 보고 판단한 풀이

학생은 두 함수 \(f(x)=2^x\), \(g(x)=2^{x-1}+2\)의 그래프가 \((2,4)\)에서 만나는 것을 확인한 뒤 다음과 같이 적었다.

“교점에서 두 함수의 값이 같으므로, 모든 실수 \(x\)에서 두 함수의 크기도 같다.”

교점은 특정한 한 \(x\)에서 함수값이 같다는 뜻일 뿐이다. 교점 전후로 어느 그래프가 위에 있는지는 별도로 비교해야 한다. 도림동과외에서 이런 오류를 줄이려면 교점의 좌표와 구간별 대소 관계를 나누어 기록하는 습관이 필요하다.

교점의 위치 계산

교점에서는 \(f(x)=g(x)\)이므로

\[ 2^x=2^{x-1}+2 \]

\(2^x=2\cdot2^{x-1}\)이므로

\[ 2^{x-1}=2=2^1 \]

따라서 \(x=2\), \(y=2^2=4\)이다. 두 그래프의 교점은 \((2,4)\)이다.

교점 전후의 대소 관계

두 함수의 차를 계산하면

\[ f(x)-g(x)=2^x-(2^{x-1}+2)=2^{x-1}-2 \]

  • \(x<2\)이면 \(2^{x-1}<2\)이므로 \(f(x)-g(x)<0\), 즉 \(f(x)<g(x)\)이다.
  • \(x=2\)이면 \(f(x)=g(x)=4\)이다.
  • \(x>2\)이면 \(2^{x-1}>2\)이므로 \(f(x)-g(x)>0\), 즉 \(f(x)>g(x)\)이다.

수평이동된 지수함수에 적용하기

이번에는 \(p(x)=2^x+1\), \(q(x)=2^{x-1}+3\)을 비교해 보자. 두 함수의 교점은

\[ 2^x+1=2^{x-1}+3 \]

이므로 \(2^{x-1}=2\), \(x=2\)이다. 이때 함수값은 \(5\)이므로 교점은 \((2,5)\)이다.

부분 풀이 완성

\[ p(x)-q(x)=2^{x-1}-2 \]

따라서 빈칸은 다음과 같이 채운다.

  • \(x<2\)일 때: \(p(x)<q(x)\)
  • \(x=2\)일 때: \(p(x)=q(x)\)
  • \(x>2\)일 때: \(p(x)>q(x)\)

앞선 함수와 교점의 기준값은 같지만, 두 함수가 위로 1만큼 이동했기 때문에 교점의 \(y\)좌표만 \(4\)에서 \(5\)로 달라졌다. 대소 관계를 판단할 때는 그래프의 위치를 막연히 보는 대신 두 함수의 차의 부호를 확인해야 한다.

최종 확인

\(x=1\)을 대입하면 \(p(1)=3\), \(q(1)=4\)이므로 \(p<q\)이다. \(x=3\)을 대입하면 \(p(3)=9\), \(q(3)=7\)이므로 \(p>q\)이다. 교점 \(x=2\)를 기준으로 그래프의 위아래가 바뀐다는 결론과 일치한다.

한 단원의 개념들이 따로 기억될 때

정의, 성질, 예제를 각각 외운 뒤 연결하지 못한다면 예제의 한 줄이 어떤 성질을 사용했는지 표시해 보세요. 개념 정리표를 크게 만드는 것보다 실제 풀이와 연결된 짧은 표시가 도움이 될 수 있습니다. 현재 단원에서 자주 쓰는 관계부터 시작해 보세요.

처음 고른 방법을 바꿔야 할 때

풀이가 막혔다면 같은 계산을 반복하기 전에 사용하지 않은 조건이 남았는지 확인해 보세요. 다른 방법을 떠올렸다면 무엇 때문에 방향을 바꿨는지도 짧게 남깁니다. 고2 학습에서는 정답 풀이만 보관하기보다 방법을 선택한 근거를 기록하는 것이 도움이 됩니다.

현재 학습에서 함께 살펴볼 범위

고등 수학

현재 수강 과목과 시험 범위를 먼저 확인하고 개념, 식의 변형, 함수와 그래프, 문제 조건의 해석을 연결합니다. 선택 과목은 실제 이수 범위에 맞춰 준비하며 내신 답안과 모의고사 풀이 시간은 구분해 점검합니다.

고2 점검 기준

실제 수강하는 선택 과목과 학교 평가 범위를 확인합니다. 모든 학생에게 같은 선택 과목의 내용을 적용하지 않습니다.

수업 진행 예시

선택 과목: 변화율의 의미

미분을 배우는 과목을 수강한다면 f(x) = x³에서 f′(x) = 3x²를 구하고 x = 1에서의 순간변화율이 3임을 확인합니다. 계산 규칙을 적용하는 것과 그래프에서 변화율을 해석하는 것을 구분합니다.

선택 과목: 확률의 조건

확률을 배우는 과목을 수강한다면 공정한 주사위에서 짝수가 나올 확률을 3/6 = 1/2로 구합니다. 가능한 결과가 같은 가능성을 갖는다는 조건을 확인한 뒤 전체 경우와 해당 경우를 구분합니다.

위 내용은 지도 범위와 연습 방법을 설명하는 예시입니다. 학생이 이미 배운 내용과 현재 진도에 맞춰 적용하며, 모든 내용을 한 수업에서 진행하지 않습니다.

수업 진행 안내

상담 → 선생님 연결 → 첫 수업 → 정규 수업

학생의 학습 상황을 상담하고, 선생님과 수업 방식이 맞는지 확인한 뒤 시간·횟수·비용을 정합니다. 숙제 확인과 보호자 피드백은 학생별로 조율하며, 보강과 일정·선생님 변경이 가능합니다.

고등 과외 수업료

월 수업료 · 주 2회 기준
학교급방문 수업화상 수업
고등33~50만 원30~46만 원

회당 수업 시간에 따라 금액이 달라집니다. 주당 횟수와 회당 시간, 최종 월 수업료는 상담에서 정합니다.

주 1회부터 주 3회 이상까지 횟수를 조율할 수 있습니다. 같은 회당 시간으로 주 1회 진행할 경우, 위 주 2회 금액의 절반이 기준입니다.

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도림동 고2수학과외 수업 후기

방학 중 다른 교재를 풀던 오전에 해설과 자기 풀이를 번갈아 보더라고요. 답을 맞혔는지부터 확인하는 게 아니라, 두 풀이가 처음 달라지는 한 줄을 찾아 그 부분에만 필요한 흔적을 남겼어요. 한참 문제 전체를 다시 훑을 줄 알았는데, 비교할 곳을 정한 뒤에는 그 자리에서 멈췄습니다. 도림동 수학과외를 알아볼 때도 아이가 실제로 어떻게 문제를 보는지가 궁금했거든요. 학교에서 돌아와 책상을 펴던 날에는 잠깐 방에 들어가 보니 해설지와 자기 풀이를 나란히 두고 한 줄만 대조하고 있었어요. 예전에는 풀이 과정에 표시를 해도 맞았는지 틀렸는지를 구분하는 정도였는데, 그날만큼은 결과보다 풀이가 갈라진 지점을 먼저 보고 있더라고요. 방학 교재에서도 같은 식으로 처음 어긋난 한 줄을 찾아낸 뒤, 필요한 부분만 남겨 둔 채 책을 정리했습니다._久久爱

★★★★★수업 후기

시험 다음 날 저녁, 제가 먼저 묻기도 전에 아이가 해설지와 시험 때 적은 풀이를 식탁에 펼쳐 놓고 있더라고요. 두 장을 한참 훑는 게 아니라 계산이 달라진 첫 줄만 짚어서 양쪽을 번갈아 보고 있었어요. 예전에는 공부를 마치면 틀린 부분을 따로 남겨두는 일이 없었거든요. 도림동 수학과외 이야기를 나누던 때에도 이런 장면이 꽤 인상적이었어요. 전에는 답이 맞는지만 보고 지나갔는데, 이번에는 풀이가 어긋난 지점을 먼저 찾는 순서가 보였어요. 무엇을 오래 했는지보다 어디서 달라졌는지를 살피는 모습이 달랐습니다. 교재를 다시 펼친 날에는 해설과 자기 풀이가 갈라지는 부분을 찾아 작은 표시를 해두더라고요. 그 뒤 표시한 곳을 그대로 둔 채 책을 접었는데, 확인할 줄이 눈에 보이게 남아 있었습니다.

★★★★★수업 후기

예전에는 책상에 앉는 것부터 싫었고, 어려운 문제를 만나면 이해한 척 넘기곤 했습니다. 도림동에서 수업을 시작한 뒤 선생님이 질문의 이유부터 차분히 들어주시고, 그날 할 일과 다음에 복습할 내용을 나눠 주셔서 모르는 것을 숨기지 않게 됐습니다. 시험 전 마지막 주말에도 틀린 문제를 다시 살펴보며 숙제가 많을 때는 먼저 말해도 된다는 편안함을 느꼈습니다.

★★★★★수업 후기

도림동에서 수학 과외를 시작하기 전에는 아이가 모르는 문제를 만나면 금세 집중을 놓고 지나가기 일쑤였습니다. 숙제하다 막힌 날에도 선생님은 답을 바로 알려주기보다 생각이 달라진 지점을 함께 찾아 아이가 스스로 이어가게 했고, 요즘은 수업에서 궁금했던 점을 먼저 말하는 모습이 보여 반가웠습니다.

★★★★★수업 후기

도림동에서 수학과외를 시작한 뒤, 수업 전부터 숙제와 저녁 일정이 겹쳐 아이가 부담스러워하는 모습을 곁에서 보았습니다. 틀리는 걸 싫어해 풀이를 중간에 접곤 했지만, 선생님은 이해한 부분부터 천천히 확인하며 모른다고 말해도 괜찮게 이끌어 주셨습니다. 요즘은 설명을 듣고 다시 시도하고, 질문할 때 눈치를 덜 보는 모습이 보여 마음이 놓입니다.

★★★★★수업 후기

학생별 1:1 수업 안내

수업은 학생별 1:1로 진행하며, 현재 학습 상태와 목표에 따라 수업 내용을 달리합니다.