도림동 고2수학과외







교점 하나만 보고 판단한 풀이
학생은 두 함수 \(f(x)=2^x\), \(g(x)=2^{x-1}+2\)의 그래프가 \((2,4)\)에서 만나는 것을 확인한 뒤 다음과 같이 적었다.
“교점에서 두 함수의 값이 같으므로, 모든 실수 \(x\)에서 두 함수의 크기도 같다.”
교점은 특정한 한 \(x\)에서 함수값이 같다는 뜻일 뿐이다. 교점 전후로 어느 그래프가 위에 있는지는 별도로 비교해야 한다. 도림동과외에서 이런 오류를 줄이려면 교점의 좌표와 구간별 대소 관계를 나누어 기록하는 습관이 필요하다.
교점의 위치 계산
교점에서는 \(f(x)=g(x)\)이므로
\[ 2^x=2^{x-1}+2 \]
\(2^x=2\cdot2^{x-1}\)이므로
\[ 2^{x-1}=2=2^1 \]
따라서 \(x=2\), \(y=2^2=4\)이다. 두 그래프의 교점은 \((2,4)\)이다.
교점 전후의 대소 관계
두 함수의 차를 계산하면
\[ f(x)-g(x)=2^x-(2^{x-1}+2)=2^{x-1}-2 \]
- \(x<2\)이면 \(2^{x-1}<2\)이므로 \(f(x)-g(x)<0\), 즉 \(f(x)<g(x)\)이다.
- \(x=2\)이면 \(f(x)=g(x)=4\)이다.
- \(x>2\)이면 \(2^{x-1}>2\)이므로 \(f(x)-g(x)>0\), 즉 \(f(x)>g(x)\)이다.
수평이동된 지수함수에 적용하기
이번에는 \(p(x)=2^x+1\), \(q(x)=2^{x-1}+3\)을 비교해 보자. 두 함수의 교점은
\[ 2^x+1=2^{x-1}+3 \]
이므로 \(2^{x-1}=2\), \(x=2\)이다. 이때 함수값은 \(5\)이므로 교점은 \((2,5)\)이다.
부분 풀이 완성
\[ p(x)-q(x)=2^{x-1}-2 \]
따라서 빈칸은 다음과 같이 채운다.
- \(x<2\)일 때: \(p(x)<q(x)\)
- \(x=2\)일 때: \(p(x)=q(x)\)
- \(x>2\)일 때: \(p(x)>q(x)\)
앞선 함수와 교점의 기준값은 같지만, 두 함수가 위로 1만큼 이동했기 때문에 교점의 \(y\)좌표만 \(4\)에서 \(5\)로 달라졌다. 대소 관계를 판단할 때는 그래프의 위치를 막연히 보는 대신 두 함수의 차의 부호를 확인해야 한다.
최종 확인
\(x=1\)을 대입하면 \(p(1)=3\), \(q(1)=4\)이므로 \(p<q\)이다. \(x=3\)을 대입하면 \(p(3)=9\), \(q(3)=7\)이므로 \(p>q\)이다. 교점 \(x=2\)를 기준으로 그래프의 위아래가 바뀐다는 결론과 일치한다.
한 단원의 개념들이 따로 기억될 때
정의, 성질, 예제를 각각 외운 뒤 연결하지 못한다면 예제의 한 줄이 어떤 성질을 사용했는지 표시해 보세요. 개념 정리표를 크게 만드는 것보다 실제 풀이와 연결된 짧은 표시가 도움이 될 수 있습니다. 현재 단원에서 자주 쓰는 관계부터 시작해 보세요.
처음 고른 방법을 바꿔야 할 때
풀이가 막혔다면 같은 계산을 반복하기 전에 사용하지 않은 조건이 남았는지 확인해 보세요. 다른 방법을 떠올렸다면 무엇 때문에 방향을 바꿨는지도 짧게 남깁니다. 고2 학습에서는 정답 풀이만 보관하기보다 방법을 선택한 근거를 기록하는 것이 도움이 됩니다.
현재 학습에서 함께 살펴볼 범위
고등 수학
현재 수강 과목과 시험 범위를 먼저 확인하고 개념, 식의 변형, 함수와 그래프, 문제 조건의 해석을 연결합니다. 선택 과목은 실제 이수 범위에 맞춰 준비하며 내신 답안과 모의고사 풀이 시간은 구분해 점검합니다.
고2 점검 기준
실제 수강하는 선택 과목과 학교 평가 범위를 확인합니다. 모든 학생에게 같은 선택 과목의 내용을 적용하지 않습니다.
수업 진행 예시
선택 과목: 변화율의 의미
미분을 배우는 과목을 수강한다면 f(x) = x³에서 f′(x) = 3x²를 구하고 x = 1에서의 순간변화율이 3임을 확인합니다. 계산 규칙을 적용하는 것과 그래프에서 변화율을 해석하는 것을 구분합니다.
선택 과목: 확률의 조건
확률을 배우는 과목을 수강한다면 공정한 주사위에서 짝수가 나올 확률을 3/6 = 1/2로 구합니다. 가능한 결과가 같은 가능성을 갖는다는 조건을 확인한 뒤 전체 경우와 해당 경우를 구분합니다.
위 내용은 지도 범위와 연습 방법을 설명하는 예시입니다. 학생이 이미 배운 내용과 현재 진도에 맞춰 적용하며, 모든 내용을 한 수업에서 진행하지 않습니다.
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| 학교급 | 방문 수업 | 화상 수업 |
|---|---|---|
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