도림동 중1수학과외

도림동 중1수학과외에서 살펴본 반비례 관계의 표현 전환

도림동과외 수업에서는 반비례 관계를 식 하나로 외우는 데서 멈추지 않고, 표·식·그래프·문장을 서로 바꾸어 읽는 과정을 중심으로 풀이를 진행했다.

표에서 식으로 옮기는 순간 생긴 오류

문제에는 한 변의 길이가 일정한 직사각형에서 가로의 길이와 세로의 길이가 다음처럼 대응한다고 제시되어 있었다.

• 가로 2, 세로 12
• 가로 3, 세로 8
• 가로 4, 세로 6

학생은 표를 보고 곧바로 세로의 값을 가로의 값으로 나누어 12÷2=6, 8÷3, 6÷4를 계산한 뒤 “비례식은 y=6x”라고 적었다. 이때 풀이가 어긋나기 시작한 지점은 표의 대응값을 확인하기 전에 한쪽 값을 다른 쪽 값으로 나누고, 그 결과를 모든 행에 적용되는 규칙으로 정한 판단이었다.

교정은 이미 적어 둔 표를 버리지 않고 각 행의 두 수를 곱해 보는 방식으로 이루어졌다. 2×12=24, 3×8=24, 4×6=24가 모두 같으므로 이 관계는 y=6x가 아니라 x×y=24, 즉 y=24/x로 나타난다고 표시했다. 이어 y=24/x에 x=2, 3, 4를 각각 넣어 세로가 12, 8, 6이 되는지 확인했다. 같은 표를 식에 대입해 성립 여부를 확인하자 식의 형태가 자연스럽게 정리되었다.

식의 모양이 바뀌어도 대응을 놓치지 않기

다음 활동에서는 숫자표를 주지 않고 “일정한 양의 물을 여러 병에 똑같이 나누어 담을 때, 병의 수가 늘어나면 한 병에 담기는 양은 줄어든다”는 문장으로 제시했다. 학생은 이를 표로 옮기면서 병의 수를 x, 한 병의 양을 y로 정하고, 전체 물의 양을 18로 두었다. 병의 수 2, 3, 6에 대응하는 양을 9, 6, 3으로 적은 뒤 각각의 곱이 18인지 확인했다.

이번에는 그래프를 직접 그렸다. 가로축에는 병의 수 x, 세로축에는 한 병의 양 y를 놓고 (1,18), (2,9), (3,6), (6,3)을 표시했다. 점들을 직선으로 이어 버리려는 순간, 학생은 “x가 커질수록 y가 일정한 비율로 커지는 것이 아니라, 곱이 일정하게 유지된다”고 설명하며 멈췄다. 반비례 관계의 그래프는 주어진 점을 지나고, x와 y가 양수인 범위에서 오른쪽으로 갈수록 아래로 내려가는 모양이라고 문장으로 정리했다.

표의 두 수를 곱해 일정한지 확인하고, 일정한 곱을 식으로 만든 뒤, 그 식에 표의 대응값을 다시 넣어 본다.

표현을 바꾼 독립 문제에서는 “속력과 걸리는 시간의 곱이 60일 때, 속력이 5일 경우 시간은 얼마인가?”라는 질문을 문장으로만 받았다. 학생은 속력을 x, 시간을 y로 정하고 xy=60을 세운 뒤 x=5를 넣어 y=12를 구했다. 이어 속력 10일 때 시간을 묻는 대신, 시간 4일 때 속력을 묻는 방향이 바뀐 질문에도 4x=60에서 x=15라고 적었다. 질문의 방향이 달라도 먼저 주어진 두 양의 역할과 일정한 곱을 확인해야 한다는 점을 풀이 옆에 한 줄로 남겼다.

힌트 없이 다시 세운 최종 풀이

검증 문제에서는 표와 그래프가 함께 제시되었지만, 식은 비워 두었다. 학생은 먼저 그래프에서 (2,15)와 (5,6)을 읽고 두 좌표의 곱이 각각 30임을 계산했다. 따라서 관계식을 xy=30, y=30/x로 정하고, 표에서 x=3일 때 y=10인지 확인했다. 그래프에 표시된 점 (10,3)도 식에 넣어 3이 나오는지 검산했다.

학생은 “두 양이 반비례하려면 한 값이 커질 때 다른 값이 작아지는 모습만 보는 것이 아니라, 대응하는 두 값의 곱이 같은지 확인해야 한다. 표에서 얻은 곱으로 식을 만들고, 그 식을 다시 표와 그래프의 값에 적용해야 한다”고 설명했다. 이전처럼 표의 한 줄만 보고 y=일정한 수×x로 정하지 않고, 조건을 읽은 뒤 대응값을 비교하고 식과 그래프를 차례로 연결해 스스로 재현한 것이다. 도림동중1수학과외에서도 이처럼 한 개념을 여러 표현으로 옮긴 뒤 원래 자료에 되돌려 검산하는 과정을 중요하게 다룬다.