치평동 중등수학과외

치평동중등수학과외, 중심각 82°에서 원주각 41°가 되는 조건 확인하기

원의 성질에서는 답을 맞히는 것과 그 답이 성립하는 조건을 설명하는 것이 조금 다릅니다. 원 O에서 작은 호 AB에 대한 중심각 ∠AOB=82°이고, P가 그 작은 호 밖의 원 위에 있을 때 ∠APB를 구하는 과제를 보겠습니다. 답은 41°입니다. 다만 82÷2만 적어 두면 계산은 맞아도, 왜 나누어도 되는지 확인하기 어렵습니다. 치평동중등수학과외 수업에서는 중심각과 원주각이 모두 어느 호를 보고 있는지부터 표시하여, 맞힌 정답의 근거를 풀이에 남기는 데 초점을 둡니다.

작은 호 AB를 보는 두 각을 그림에서 연결합니다

∠AOB의 꼭짓점 O는 원의 중심에 있으므로 중심각입니다. 두 변 OA, OB가 원 위의 A와 B로 이어지므로 이 각이 가리키는 것은 작은 호 AB입니다. ∠APB는 꼭짓점 P가 원 위에 있고, PA와 PB의 끝점도 A·B이므로 원주각입니다. P가 작은 호 AB 밖에 있다는 조건도 중요합니다. 원주각의 꼭짓점이 그 호 위에 놓이면 같은 작은 호 AB 전체를 바라보는 원주각으로 판단할 수 없기 때문입니다. 그림에서 작은 호 AB를 한 색으로 칠하고, O에는 ‘중심’, P에는 ‘원 위·작은 호 밖’이라고 짧게 적으면 두 각이 같은 작은 호 AB를 본다는 관계가 드러납니다.

82÷2의 계산 앞에 성질을 적용할 이유를 씁니다

같은 호를 보는 원주각의 크기는 그 호에 대한 중심각의 절반입니다. 따라서 이 문제에서는 ∠APB=∠AOB÷2=82°÷2=41°가 됩니다. 각의 크기이므로 답의 단위는 도(°)이며, 41이라고만 쓰기보다 41°로 마무리합니다. 정답을 가린 뒤에도 “∠AOB와 ∠APB의 양 끝점이 모두 A, B이고, P는 작은 호 AB 밖의 원 위에 있으므로 같은 작은 호 AB를 본다”라고 말하거나 표시할 수 있는지 확인합니다. 만약 “원주각은 항상 중심각의 반”이라고만 썼다면, 이 문제의 호와 꼭짓점 조건이 빠진 표현입니다. 이때는 답을 고치기보다 A·B와 작은 호 AB를 다시 표시해 식 앞의 이유를 보완합니다.

다른 호를 보는 각에는 41°를 바로 옮기지 않습니다

비교 과제에서 “다른 호를 보는 원주각에도 같은 값을 바로 쓸 수 있을까?”라고 묻는다면, 호의 관계를 확인하기 전에는 값을 확정할 수 없습니다. 원주각의 크기는 꼭짓점의 모양만으로 정해지는 것이 아니라, 그 각의 두 변이 잘라 내는 호와 연결됩니다. 예를 들어 양 끝점이 A·B가 아닌 다른 점으로 바뀌었다면 그 각이 보는 호도 작은 호 AB와 다를 수 있으므로 41°를 그대로 쓸 근거가 없습니다. 먼저 두 변의 끝점이 어디인지, 그 끝점 사이의 호가 AB와 같은지 또는 어떤 관계인지 확인한 뒤에만 중심각의 절반 성질을 적용합니다. 풀이 순서는 ‘호 표시 → 꼭짓점 위치 확인 → 같은 호인지 판단 → 식 세우기’로 남기면, 교사가 던진 질문에 따라 답을 고른 경우와 스스로 관계를 판단한 경우를 구분해 볼 수 있습니다.

다음 확인에서는 며칠 뒤 기본 그림의 정답을 숨기고, 작은 호 AB를 색칠한 뒤 ∠APB=41°가 되는 이유를 그림·문장·식 중 한 방식으로 복원하게 합니다. 이어 다른 호를 보는 원주각에서는 “호의 관계를 확인하기 전에는 확정할 수 없다”는 판단을 스스로 내리는지 살핍니다. 답을 다시 말하는 데서 멈추지 않고 원주각의 꼭짓점이 해당 작은 호 밖에 있는 근거와 같은 호의 표시를 함께 제시할 수 있는지가, 다음 문제로 넘어가기 전 확인할 행동입니다.