치평동 고1수학과외
행렬의 곱셈: 조건을 처음 읽는 순서
치평동의 한 고1 학생은 표로 정리된 두 자료를 행렬로 옮기는 문제에서 계산보다 대응 관계를 먼저 정리하려 했다. 각 행과 열이 무엇을 나타내는지 표시한 뒤, 두 행렬의 성분을 순서대로 연결해 곱셈을 시작했다.
성분의 위치는 계산 순서가 아니라 역할로 정했다
그러나 학생은 곱해지는 두 행렬의 행과 열을 같은 종류의 자료라고 판단했다. 그 결과 대응하지 않는 성분끼리 곱해 불필요한 값이 답에 포함되었고, 행렬의 크기와 결과 행렬의 위치도 맞지 않았다.
행렬의 곱에서는 앞 행렬의 열과 뒤 행렬의 행이 연결되며, 결과의 성분은 앞 행렬의 행과 뒤 행렬의 열이 결정한다.
교정할 때는 각 문자 옆에 그 문자가 나타내는 대상을 짧게 적고, 한 성분이 어느 행과 어느 열에서 만들어지는지 말로 확인했다. 예를 들어 \(AB\)의 \(i,j\)성분은 \(A\)의 \(i\)번째 행과 \(B\)의 \(j\)번째 열을 대응시켜 계산한다는 기준을 세웠다. 숫자 계산을 다시 반복하기보다 성분의 역할을 먼저 구분하자 잘못된 곱셈 위치가 드러났다.
역방향 자료에서도 대응 관계를 유지했는가
다음에는 결과 행렬이 주어지고 그 결과가 어떤 자료의 변환인지 설명하는 문제로 바꾸었다. 표를 바로 식으로 옮기지 않고, 결과의 각 행과 열이 원래 자료의 어떤 항목을 모은 것인지 문장으로 바꾸어 적었다. 자료의 표현이 표에서 행렬식으로 바뀌었어도 앞 행렬의 행과 뒤 행렬의 열을 연결하는 판단은 그대로 적용했다.
- 결과의 행 번호가 무엇을 가리키는지 확인했다.
- 각 성분이 어느 행과 열의 결합으로 생겼는지 추적했다.
- 행렬의 크기와 자료의 항목 수가 서로 맞는지 살폈다.
처음 보는 변형에서 결과의 위치를 검증하다
마지막에는 숫자와 문자 배열을 바꾼 행렬을 제시하고, 계산하지 않은 채 결과 행렬의 크기부터 예측하게 했다. 앞 행렬이 \(m\times n\), 뒤 행렬이 \(n\times p\)라면 곱은 \(m\times p\)라는 기준으로 가능한 결과의 위치를 정한 뒤 실제 성분 하나를 계산했다. 예측한 위치와 계산된 성분의 행·열 번호가 일치해, 단순 암기가 아니라 대응 관계를 이용했는지 확인할 수 있었다.