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치평동 고등수학과외

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치평동 고등수학과외에서 로그 단원을 다룰 때는 계산 속도보다 로그 성질을 적용하는 첫 순간을 자세히 살핀다. 전남고등학교 학생과 문제를 풀며 특히 자주 확인한 장면은 logx12를 보고도 곱셈 구조와 덧셈 구조를 구분하지 못해 다음 풀이 시작점을 놓치는 경우였다. 상무금호아파트와 상무대우아파트 인근에서 학습하는 학생들도 이 부분을 단순 암기로 넘기기보다 식의 모양을 직접 바꾸어 보는 연습이 필요하다.

logx12에서 멈춘 지점

학생은 여백에 먼저 조건을 적었다. 밑은 x>0이고 x≠1이어야 하며, 진수도 양수여야 한다는 내용이었다. 그런데 정작 식을 바라보면서는 “12는 더 나뉘지 않는 수인가?”라고 생각한 뒤 펜을 멈췄다. 로그의 합·차 성질을 배웠지만, logx12 안의 12를 곱셈으로 분해해야 한다는 연결이 바로 떠오르지 않은 것이다.

이때 풀이를 억지로 이어 가며 logx12를 logx1+logx2처럼 바꾸면 안 된다. 실제로 1×2는 2이므로 원래 진수 12와 맞지 않는다. 먼저 12=3×4를 확인하고,

logx12=logx(3×4)=logx3+logx4

라고 써야 한다. 로그의 곱셈 성질은 진수의 곱을 로그의 합으로 바꾸는 규칙이다. 진수의 합을 로그의 합으로 바꾸는 규칙이 아니므로, 식의 모양을 읽는 순서가 풀이의 출발점이 된다.

조건을 적은 뒤 성질을 선택하는 연습

학생에게는 정답 식을 바로 외우게 하지 않고, 원식 옆에 세 가지를 적게 했다. 첫째, 밑의 조건이다. 둘째, 진수의 곱·몫 여부다. 셋째, 변형한 뒤 다시 원래 식으로 돌아갈 수 있는지다. 이 과정을 거치면 logx12는 곱 구조가 있으므로 합 성질을 사용할 수 있고, logx(3/4)는 차 성질로 연결된다는 판단이 분명해진다.

logx(ab)=logxa+logxb, logx(a/b)=logxa−logxb는 a와 b가 양수일 때만 사용할 수 있다.

이후 숫자를 바꾼 문제에서 학생 혼자 판단하게 했다. log218은 18=2×9로 분해하여 log22+log29로 정리했고, 밑을 1/2로 바꾼 log1/218에서도 밑이 0보다 크고 1이 아니라는 조건을 확인한 뒤 같은 곱셈 성질을 적용했다. 밑이 2보다 작아지면 그래프가 감소한다는 점은 값의 방향을 해석할 때 영향을 주지만, 곱셈 성질 자체가 사라지는 것은 아니다.

그래프 방향을 바꾸어도 식의 구조는 남는다

다음에는 log312와 log1/312를 비교했다. 밑이 3일 때 로그함수는 증가하고, 밑이 1/3일 때는 감소하지만 두 식 모두 12=3×4라는 진수의 구조를 가진다. 학생은 그래프 방향이 바뀌었다고 해서 log1/3(3×4)를 log1/33−log1/34로 바꾸려 했고, 곱셈은 밑의 크기와 무관하게 합으로 연결된다는 점을 다시 고쳤다.

마지막에는 규칙을 원식에 재대입했다. logx3+logx4를 합치는 과정에서 다시 logx(3×4)=logx12가 되므로 변형이 원래 식과 일치한다. 반대로 잘못된 규칙 logx(3+4)=logx3+logx4를 시험하면, x=10일 때 왼쪽은 log107이고 오른쪽은 log1012라서 서로 다르다. 이 반례를 직접 계산한 뒤 학생은 로그 밖의 덧셈에는 곱셈 성질을 적용할 수 없다는 사실을 기억하게 됐다.

자주 묻는 내용

logx12를 반드시 분해해야 하나요?

문제의 목적에 따라 다르다. 값의 비교나 식의 변형이 필요하다면 12=3×4처럼 분해할 수 있지만, 모든 로그를 무조건 여러 항으로 나눌 필요는 없다.

밑이 1/2여도 곱셈 성질을 쓰나요?

밑이 0보다 크고 1이 아니면 사용할 수 있다. 다만 그래프가 감소하므로 부등식의 방향을 판단할 때 별도 확인이 필요하다.

진수의 합도 로그의 합으로 바꿀 수 있나요?

바꿀 수 없다. logx(a+b)와 logxa+logxb는 일반적으로 다르며, x=10, a=3, b=4만 대입해도 차이를 확인할 수 있다.

로그 성질을 적용하기 전 무엇을 확인하나요?

밑의 범위, 진수의 양수 조건, 그리고 진수가 곱인지 몫인지부터 확인한다. 그다음 변형한 식을 다시 합쳐 원식과 같은지 검산한다.

치평동 고등수학과외 학부모 후기

가방에서 시험지를 꺼내던 아이가 바로 채점하지 않고, 같은 문제의 숫자 몇 개를 손으로 가린 뒤 다시 풀어보더라고요. 답이 맞았는지만 보던 모습과는 조금 달라서 저도 옆에서 잠깐 지켜보게 됐어요. 예예전에는 결과가 맞으면 중간에 어떤 과정을 거쳤는지는 거의 확인하지 않았거든요. 치평동 수학과외를 알아보던 중에도 이런 장면이 집에서 보일까 싶었는데, 이번에는 숫자가 달라져도 같은 판단으로 풀 수 있는지를 스스로 살피고 있었습니다. 단순히 답을 외운 건 아닌지 확인하려는 듯했어요. 새 문제집을 펼쳐 첫 문제를 풀 때도 숫자 일부를 가린 채 같은 방식으로 다시 풀었습니다. 확인이 끝난 부분과 다시 살펴볼 부분을 나눠두고, 두 곳을 따로 보고 있더라고요.

★★★★★학부모 후기

시험을 앞두고 마지막으로 훑어보던 날에는 틀린 중간식부터 다시 적어 놓고, 나중에 확인할 부분은 다른 곳에 따로 구분해 두었어요. 한꺼번에 답안을 고치기보다 어디를 다시 봐야 하는지 나눠 둔 모습이 눈에 들어왔습니다. 모의고사 성적표를 받아온 날에도 아이가 별다른 말 없이 서술형 답안을 잠시 들여다보더라고요. 답만 고쳐 쓰는 게 아니라, 지운 자리 아래에 풀이의 중간 과정부터 새로 적어 보고 있었습니다. 치평동 수학과외를 알아보며 여러 상황을 지켜봤지만 이런 장면은 저도 처음 보게 됐어요. 예전에는 공부를 마치면 이미 본 부분을 다시 펼치는 일이 거의 없었거든요. 그런데 이번에는 서술형 전체를 처음부터 옮겨 적지 않고, 잘못됐다고 본 중간식부터 손을 댔어요. 마지막에는 다시 확인할 부분이 한눈에 보이도록 따로 남겨 두었습니다.

★★★★★학부모 후기

치평동에 사는 아이가 시험 일주일 전 저녁에도 수업 준비를 미루지 않고 책상에 앉아 있는 모습이 먼저 눈에 들어왔습니다. 예전에는 어려운 문제만 나오면 답지를 찾았지만, 선생님이 중간중간 부담 없이 질문을 이끌고 그날 할 일과 다음에 볼 내용을 나눠 주셔서 모르는 부분을 직접 물어보기 시작했습니다. 몇 차례 지나니 시험기간에도 공부 흐름을 크게 놓치지 않아 부모로서 안심이 됩니다.

★★★★★학부모 후기

치평동에서 수학 과외를 시작하기 전에는 아이가 문제를 조금만 고민하다가 답지를 먼저 펼치는 일이 잦았습니다. 어느 날 숙제에서 모르는 문제가 여럿 나오자 선생님은 틀렸다고 바로 지적하지 않고 생각이 달라진 지점을 함께 찾아보며 아이의 속도에 맞춰 주셨습니다. 요즘은 수업에서 궁금했던 내용을 먼저 꺼내고, 숙제도 예전보다 덜 부담스러워합니다.

★★★★★학부모 후기

치평동에서 수학 과외를 시작했을 때는 숙제를 펼치기까지 오래 걸리고, 계산이 조금만 복잡해도 금세 어렵다고 느꼈습니다. 선생님은 풀이를 지우기보다 함께 다시 살펴보며 이해한 부분을 확인했고, 컨디션이 좋지 않은 날에는 문제 수를 줄여 핵심만 복습하게 했습니다. 시험기간에도 모르는 내용을 편하게 다시 물어볼 수 있어 공부가 전보다 덜 부담스럽다고 느꼈습니다.

★★★★☆학부모 후기