치평동 중1수학과외

분수 형태의 일차방정식에서 식의 뜻을 먼저 읽기

치평동과외 수업에서 전남중학교가 포함된 생활권의 중1 학생과 분수 형태의 일차방정식을 살펴보았다.

학생의 한 줄에서 시작된 오류

문제는 다음과 같았다.

어떤 수의 3분의 2에 4를 더하면 10이다. 어떤 수를 구하여라.

학생은 곧바로 x/3×2+4=10이라고 적었다. 문장의 ‘어떤 수의 3분의 2’를 분수로 옮기면서 분모와 곱셈의 위치를 살피지 않고, x를 3으로 나눈 뒤 2를 곱하는 모양으로 적은 것이다. 계산 자체가 틀어진 시점은 뒤의 이항이 아니라, 문장을 식으로 바꾸며 미지수와 주어진 수의 관계를 확인하지 않은 순간이었다.

학생은 이어서 양변에서 4를 빼고, 양변에 3을 곱해 x=9라고 썼다. 그러나 원래 문장에 9를 넣으면 9의 3분의 2는 6이고 여기에 4를 더한 값은 10이므로 결과만 보면 맞아 보였다. 이때 식을 잘못 적고도 우연히 같은 결과가 나온 까닭을 따로 확인해야 했다.

분모를 없애기 전에 식의 구조를 표시하다

식을 다시 쓰면서 학생은 x 위에 괄호를 그리고, ‘어떤 수’는 x, ‘3분의 2’는 2/3이라고 문장 옆에 나란히 적었다.

어떤 수의 3분의 2 → (2/3)x

따라서 정확한 식은 (2/3)x+4=10이다. 여기서 분모 3을 없애기 위해 양변 전체에 3을 곱했다.

3×((2/3)x+4)=3×10

괄호 안의 각 항에 3을 곱하면 2x+12=30, 양변에서 12를 빼면 2x=18, 양변을 2로 나누어 x=9를 얻는다. 이미 맞았던 ‘양변에 같은 연산을 한다’는 과정은 유지하고, 그 전에 분수 계수와 미지수의 위치를 분리해 읽도록 고쳤다.

문장과 표가 바뀌어도 같은 판단을 이어 가기

다음에는 문장 대신 표가 제시되었다.

• 전체 수: x
• 전체의 2/3: (2/3)x
• 전체의 2/3보다 4 큰 수: (2/3)x+4
• 그 결과: 10

학생은 표의 마지막 줄만 보고 x+4=10이라고 적으려다가, ‘결과’ 앞의 표현을 다시 읽고 (2/3)x+4=10으로 수정했다. 이번에는 숫자만 바꾼 문제가 아니라, 문장을 표로 바꾸어도 분수와 미지수의 관계가 사라지지 않는지 확인하는 적용이었다.

이후 조건의 순서를 바꾼 문제를 제시했다.

10에서 4를 뺀 수가 어떤 수의 3분의 2와 같다. 어떤 수를 구하여라.

학생은 먼저 10-4를 계산하지 않고, ‘어떤 수’를 x로 정한 뒤 (2/3)x=10-4라고 썼다. 분모를 없애려고 양변에 3을 곱해 2x=18, 따라서 x=9라고 풀이했다. 조건의 순서가 달라졌지만 미지수의 뜻을 먼저 정하고, 분수식과 주어진 수를 구분한 점이 앞의 풀이와 같았다.

소수 표현으로 바뀐 조건 다시 읽기

표현을 바꾸어 ‘어떤 수의 0.6배에 2를 더하면 8.6’이라는 문제도 풀었다. 학생은 0.6을 곧바로 6으로 적지 않고, 0.6=6/10=3/5라고 옆에 표시했다.

(3/5)x+2=8.6

양변에서 2를 빼면 (3/5)x=6.6이고, 양변에 5를 곱해 3x=33, 양변을 3으로 나누어 x=11을 얻었다. 소수와 분수가 함께 나타나자 계산을 서두르지 않고 주어진 수와 미지수가 포함된 항을 분리한 뒤 분모를 처리했다.

힌트 없이 원래 조건으로 검산하기

수업 끝에는 풀이 과정을 가린 새 문제를 스스로 다시 시작했다.

어떤 수의 4분의 3에서 5를 빼면 7이다. 어떤 수를 구하여라.

학생은 먼저 ‘어떤 수=x’라고 적고 (3/4)x-5=7을 세웠다. 양변에 5를 더해 (3/4)x=12, 양변에 4를 곱해 3x=48, x=16이라고 설명했다. 이어 원래 조건에 대입하여 16의 3/4-5=12-5=7이라고 확인했다.

학생은 “분모를 없애기 전에 분수와 x의 관계를 식으로 정확히 적어야 하고, 양변에 곱한 수는 식 전체에 적용해야 한다”고 스스로 말했다. 치평동중1수학과외에서 확인한 변화는 정답 숫자가 아니라, 문장·표·소수 표현으로 조건이 바뀌어도 미지수의 뜻을 다시 읽고 원래 등식에 대입해 검산하는 풀이의 재현이었다.