쌍촌동 중등수학과외

쌍촌동중등수학과외, 33·44 직각삼각형에서 빗변과 직각변을 식으로 확인하기

두 직각변의 길이가 33, 44인 직각삼각형의 빗변을 구하는 문제에서 답 55를 맞혔더라도, 왜 55가 빗변인지와 식의 어느 자리에 놓이는지를 설명하는 확인이 필요합니다. 피타고라스 정리는 직각을 끼고 만나는 두 변과 직각의 맞은편 변을 구별한 뒤 사용할 수 있기 때문입니다. 쌍촌동중등수학과외에서는 계산 결과만 다시 말하게 하기보다, 직각 표시와 변의 위치를 풀이 기록에 연결해 정답의 근거를 확인합니다.

직각의 맞은편 변을 먼저 찾아야 하는 이유

직각삼각형에서 직각의 맞은편에 있는 한 변이 빗변입니다. 따라서 길이 33과 44가 직각을 이루는 두 변이라면, 그 맞은편 변을 x라고 두고 33²+44²=x²로 적습니다. 33²=1089, 44²=1936이므로 x²=1089+1936=3025입니다. 55²=3025이므로 x=55입니다. 길이는 음수가 될 수 없으므로 답은 55입니다. 이때 ‘큰 수가 빗변’이라고만 판단하는 대신, 직각 표시를 보고 그 맞은편 변에 x를 표시하도록 합니다. 정사각형 넓이 그림으로 보면 두 직각변 위 정사각형의 넓이 1089와 1936을 더한 값이 빗변 위 정사각형의 넓이 3025가 된다는 관계도 함께 드러납니다.

정답 근거를 확인할 때는 답을 가린 뒤 “직각의 맞은편 변은 어느 변인가요?”라고 짧게 묻고, 말·그림·식 가운데 한 방식으로 이유를 복원하게 할 수 있습니다. 설명이 짧다고 곧바로 이해 부족으로 판단하지 않습니다. 다만 x²를 빗변 자리에 썼는지, 33²와 44²가 직각변 자리에 남아 있는지처럼 실제 표시와 식을 살펴봅니다. 마지막으로 33²+44²=55², 즉 1089+1936=3025가 성립함을 대입해 계산과 변의 역할을 함께 검산합니다.

모르는 변의 위치가 바뀌면 더하기가 빼기로 바뀝니다

비교 문제에서는 빗변이 55이고 한 직각변이 33일 때 다른 직각변을 구합니다. 직각의 맞은편인 55가 빗변이므로 식의 기본 형태는 33²+y²=55²입니다. 이번에는 y²가 등식의 한쪽에 홀로 있지 않으므로, 양쪽에서 33²를 빼어 y²=55²-33²로 정리합니다. y²=3025-1089=1936, 따라서 y=44입니다. 같은 세 길이가 등장해도 구하려는 변이 달라졌으므로, 기본 문제처럼 제곱을 더해 y²를 구하면 안 됩니다.

이 비교는 공식을 외웠는지보다 미지수의 위치를 읽는지 확인하는 데 알맞습니다. 빗변을 구할 때는 두 직각변의 제곱을 더해 빗변의 제곱을 만들고, 직각변을 구할 때는 빗변의 제곱에서 알려진 직각변의 제곱을 뺍니다. 독립적으로 풀기 전에는 이 식의 방향이나 답을 알려 주지 않고, 먼저 직각과 빗변을 표시해 보게 합니다. 풀이 뒤에는 33²+44²=55²에 44를 넣어 1089+1936=3025가 되는지 확인합니다. 이 대입은 44가 단순한 계산 결과가 아니라 원래 삼각형의 조건을 만족하는 길이인지 보여 줍니다.

정답을 맞힌 뒤에는 근거를 남기는 방식으로 확인합니다

다음 확인에서는 기본 문제의 55와 비교 문제의 44를 다시 말하는 데서 멈추지 않습니다. 기본 문제에서는 직각의 맞은편 변을 표시하고 33²+44²=55²를 연결할 수 있는지, 비교 문제에서는 33²+y²=55²에서 왜 빼기를 선택하는지 풀이에 남길 수 있는지를 봅니다. 며칠 뒤 같은 두 문제를 순서대로 제시해 도움 없이 식을 세우게 하면, 교사가 던진 질문을 따라간 판단과 학생이 스스로 적용한 판단을 구분할 수 있습니다.

만약 빗변 표시는 맞지만 식 정리가 멈춘다면, 빗변의 제곱을 먼저 등식 한쪽에 적어 보게 한 뒤 미지수 항만 남기는 과정을 확인합니다. 반대로 식은 맞지만 변의 이유를 설명하기 어렵다면 직각 표시와 맞은편 변을 그림에 다시 연결합니다. 두 문제에서 변의 역할, 제곱식, 대입 검산을 스스로 이어 갈 수 있을 때 다음 길이 문제로 넓혀 보는 것이 적절합니다.