쌍촌동 중1수학과외

분모를 없애는 순간부터 다시 세운 중1수학 풀이

쌍촌동과외 수업에서 학생이 적어 온 풀이를 살펴보니 답보다 먼저 확인할 부분이 보였다. 금호동종원팰리스빌과 동천마을 1단지가 있는 생활권, 광주효광중학교가 포함된 생활권에서 다루던 문제는 다음과 같았다.

어떤 수의 3분의 2에서 4를 빼면 그 수의 5분의 6이 된다. 어떤 수를 구하여라.

학생은 문제를 읽고 미지수를 정하지 않은 채 “3분의 2에서 4를 빼면 5분의 6”이라고 받아 적었다. 이어 2/3-4=5/6을 계산하려 했고, 분수끼리 먼저 비교하다가 풀이가 막혔다. 계산 실수처럼 보였지만 실제로 어긋난 최초의 판단은 숫자만 옮기고 ‘어떤 수’를 식에 넣지 않은 것이었다.

오답의 시작점을 거꾸로 찾다

학생에게 결과를 지우게 하기보다, 문제의 문장을 식으로 바꾸는 첫 줄부터 다시 물었다. “구하려는 수를 무엇으로 나타낼까?”라는 질문에 학생은 종이에 어떤 수를 x라 하자라고 적었다. 그러자 ‘그 수의 3분의 2’는 2x/3, ‘그 수의 5분의 6’은 5x/6으로 바뀌었다.

원래 문장의 관계는 왼쪽에서 4를 빼고 오른쪽과 같다는 뜻이므로 식은 다음과 같이 정리된다.

2x/3 - 4 = 5x/6

이번 교정은 여러 계산법을 바꾼 것이 아니라, 미지수의 뜻을 먼저 정하고 문장 속 ‘그 수’를 빠뜨리지 않도록 한 가지 판단만 바로잡은 것이다. 학생은 양변에 6을 곱할 때도 각 항을 빠뜨리지 않도록 괄호처럼 표시했다.

6×(2x/3-4)=6×5x/6
4x-24=5x
-24=x

분모가 3과 6으로 달랐지만 공통으로 없앨 수 있는 수 6을 양변 전체에 곱했다. 6을 한 항에만 곱하지 않고 괄호 안의 두 항에 모두 적용한 것이 핵심이었다. 처음 학생이 시도한 2/3-4=5/6과 비교하면, 이제 숫자만 계산하는 것이 아니라 같은 미지수의 양을 비교하고 있다는 차이가 분명해졌다.

문장을 표와 소수 표현으로 바꾸어 다시 적용하기

같은 개념을 숫자만 바꾼 문제로 반복하지 않고 표현을 바꾸었다. 다음 조건을 제시했다.

어떤 수의 0.4에 3을 더한 값은 그 수의 0.7과 같다. 어떤 수를 구하여라.

학생은 곧바로 계산하지 않고 문장 속 관계를 먼저 표시했다. 어떤 수를 x라 두면 0.4x+3=0.7x이다. 소수로 쓰인 식을 분수로 바꾸어도 같은 뜻인지 확인하기 위해 2x/5+3=7x/10이라고 옮겼다. 양변에 10을 곱하여

4x+30=7x
30=3x
x=10

을 얻었다. 이번에는 질문을 “어떤 수는 얼마인가?”에서 “두 양의 차이가 3이 되도록 하는 수는 얼마인가?”로 바꾸어 제시했지만, 학생은 ‘차이가 3’이라는 문장을 식의 한쪽에 더해지는 3으로 연결했다. 소수식과 분수식이 서로 다른 문제가 아니라 같은 등식 관계를 나타낸다는 점도 풀이 중간에 직접 설명했다.

중간 풀이를 가리고도 유지되는지 확인

쌍촌동중1수학과외 수업의 끝부분에는 식의 중간 줄을 가린 채 새 조건을 주었다.

어떤 수의 3분의 1에 5를 더하면 그 수의 2분의 1보다 1만큼 작다. 어떤 수를 구하여라.

힌트 없이 학생은 먼저 x를 어떤 수라고 하자라고 썼다. 이어 “5를 더한 값이 오른쪽보다 1 작다”는 조건을 x/3+5=x/2-1로 나타냈다. 분모가 3과 2이므로 양변에 6을 곱해

2x+30=3x-6
x=36

을 얻었다. 학생은 답만 적지 않고, 양변에 6을 곱한 이유가 분모를 없애면서 등식의 양쪽에 같은 연산을 했기 때문이라고 설명했다. 이어 원래 식에 36을 대입했다.

36/3+5=12+5=17
36/2-1=18-1=17

양쪽 값이 모두 17이므로 구한 수가 조건을 만족한다고 확인했다. 처음의 오류였던 ‘미지수 없이 숫자만 계산하기’로 돌아가지 않았고, 문장 해석, 분모 처리, 등식 변형, 원래 조건 검산까지 스스로 이어 갔다. 이처럼 오류를 답에서 찾는 데 그치지 않고 첫 판단까지 거슬러 올라가면, 가려진 풀이에서도 같은 분수일차방정식 풀이를 재현할 수 있다.