쌍촌동 중2수학과외

쌍촌동 중2수학과외에서 살펴본 가감법의 첫 판단

쌍촌동과외 수업에서 학생은 연립일차방정식 풀이 한 장을 들고 왔다. 문제는 두 상품의 개수와 전체 금액을 묻는 내용이었다. 광주효광중학교, 상일중학교 등이 포함된 생활권에서도 자주 만나는 유형이지만, 학교별 시험 경향을 전제로 하지는 않았다.

두 수의 합은 11이고, 한 수의 세 배에서 다른 수를 뺀 값은 7일 때 두 수를 구하여라.

학생은 두 수를 x, y로 놓고 문제의 문장을 다음처럼 옮겼다.

x＋y＝11 …… ①
3x－y＝7 …… ②

①의 y 앞 부호와 ②의 y 앞 부호를 동그라미로 표시한 뒤, 두 식을 세로로 맞추었다. 이어서 “y와 -y이므로 더하면 없어지겠다”고 적고 두 식을 더해 4x＝18, x＝9/2를 얻었다. 학생은 곧바로 y＝11－9/2라고 계산해 y＝13/2를 썼다. 두 값을 ①에 넣어 11이 되는 것은 확인했지만, ②에 대입하는 단계는 옆에 “시간 남으면”이라고 보류했다.

정답보다 먼저 되짚은 한 줄

교사는 계산 결과만 보고 틀렸다고 하지 않고, 풀이를 아래에서 위로 함께 읽었다. ①에 대입한 검산은 맞았으므로 x＝9/2와 y＝13/2가 실제로 두 식을 모두 만족하는지 ②에 다시 넣었다.

3×9/2－13/2＝14/2＝7이어서 이 풀이 자체는 맞았다. 그러나 학생이 친구의 풀이와 비교하며 표시해 둔 다른 문제에서는 두 식을 더한 뒤 같은 미지수가 그대로 남아 있었다. 학생은 그때 “계수의 크기가 비슷하니 일단 더한다”고 판단했다. 결과가 틀어진 최초의 지점은 계산 부호가 아니라 어느 연산을 해야 한 미지수가 소거되는지 확인하지 않은 선택이었다.

더하기와 빼기를 결정하는 기준

이미 맞게 세운 식과 미지수 설정은 그대로 두고, 교사는 두 식의 같은 미지수 계수를 먼저 비교하게 했다. 같은 크기이고 부호가 반대이면 더하고, 같은 부호이면 빼야 한다. 계수가 다르면 한 식에 필요한 수를 곱해 계수를 맞춘 뒤 부호를 다시 살핀다.

학생은 다음 식에서 판단을 말로 적었다.

2x＋y＝12 …… ①
5x－y＝9 …… ②

“y와 -y가 서로 반대이므로 두 식을 더한다.” 실제로 더해 7x＝21, x＝3을 구한 뒤 ①에 대입해 y＝6을 얻었다. 교사는 전체 풀이를 다시 쓰게 하지 않고, 처음의 두 부호 옆에 ‘반대 부호 → 더하기’라는 짧은 이유만 덧붙이게 했다. 구한 x＝3, y＝6은 ②에도 넣어 15－6＝9인지 확인했다.

표와 문장으로 바꾼 독립 적용

같은 개념을 숫자만 바꾼 식으로 반복하지 않기 위해, 이번에는 표에 있는 정보를 식으로 바꾸는 문제를 제시했다.

입장권 종류	수량	가격
일반권	x장	3천 원
청소년권	y장	2천 원

총 7장이고 금액은 17,000원이라는 표를 본 학생은 x＋y＝7, 3x＋2y＝17로 옮겼다. 이번에는 y의 계수가 같지 않아 두 식을 바로 더하거나 뺄 수 없다고 표시했다. 첫 식 전체에 -2를 곱해 -2x－2y＝-14로 만든 뒤, 금액식과 더해 x＝3을 구했다. 이어 첫 식에 대입해 y＝4를 얻고, “일반권 3장과 청소년권 4장은 총 7장, 9＋8＝17이므로 표의 두 조건을 모두 반영한다”고 설명했다.

힌트 없이 다시 확인한 판단

수업 끝에는 풀이 중간을 가린 새 문제를 풀게 했다.

4x＋3y＝25 …… ①
4x－2y＝10 …… ②

학생은 계수 부분만 보고 “x의 계수 4와 4가 같고 부호도 같으므로, x를 없애려면 두 식을 뺀다”고 먼저 말했다. ①－②에서 5y＝15, y＝3을 구하고 ②에 대입해 4x－6＝10, x＝4를 얻었다. 마지막으로 두 원래 식에 각각 대입해 16＋9＝25, 16－6＝10을 확인했다.

학생은 답만 제시하지 않고 “처음에는 계수만 보고 연산을 정했지만, 이제는 같은 미지수의 부호와 계수를 비교해 소거되는 연산을 먼저 고른다”고 설명했다. 이처럼 쌍촌동중2수학과외 수업에서는 뒤 계산을 고치는 데 그치지 않고, 가감법의 첫 분기점과 두 원래 식 검산까지 한 흐름으로 확인했다.