쌍촌동 고2수학과외







같은 결과에 도착하는 경로는 곱하지 않고 더한다
확률의 곱셈정리에서 가장 흔한 오류는 한 경로 안의 곱셈과 여러 경로 사이의 덧셈을 구분하지 않는 것이다. 쌍촌동과외 수업에서도 트리의 가지를 끝까지 따라간 뒤, 같은 결과에 도달하는 경로를 묶어 계산한다.
학생 풀이 기록에서 발견한 오류
어떤 사건이 두 경로를 통해 일어난다고 하자.
- 경로 1: 첫 단계 확률이 0.6, 다음 단계에서 성공할 확률이 0.5
- 경로 2: 첫 단계 확률이 0.4, 다음 단계에서 성공할 확률이 0.75
각 경로의 확률은 다음과 같다.
경로 1: 0.6 × 0.5 = 0.3
경로 2: 0.4 × 0.75 = 0.3
두 경로는 동시에 일어날 수 없는 서로 배반인 사건이므로 원하는 확률은
0.3 + 0.3 = 0.6
그런데 학생은 모든 수를 한꺼번에 곱하여
0.6 × 0.4 × 0.5 × 0.75 = 0.09
라고 계산했다. 이는 서로 다른 경로를 동시에 선택한 것으로, 문제의 사건과 일치하지 않는다.
트리에서 곱과 합의 위치 확인하기
경로 안에서는 곱셈
연속해서 일어나는 조건부 사건은 곱셈정리를 사용한다.
P(A∩B) = P(A)P(B|A)
따라서 하나의 가지를 따라갈 때는 각 단계의 확률을 곱한다.
경로 사이는 덧셈
원하는 최종 결과에 도달하는 경로가 서로 배반이라면 각 경로의 확률을 더한다.
P(원하는 결과) = P(경로 1) + P(경로 2) + ⋯
즉, 이 문제의 구조는
(0.6 × 0.5) + (0.4 × 0.75)
이다. 괄호 안은 경로별 곱셈이고, 괄호 사이의 기호는 경로를 합치는 덧셈이다.
기호를 바꾼 재구성 문제
사건 A에 도달하는 경로가 B와 C로 나뉘며 두 경로가 서로 배반이라고 하자. 다음 조건이 주어졌다.
P(B)=x, P(A|B)=y, P(C)=1-x, P(A|C)=z
그러면
P(A)=xy+(1-x)z
xyz(1-x)처럼 네 값을 모두 곱하면 경로 B와 C를 동시에 선택한 셈이다. 실제로는 B를 거치는 경우와 C를 거치는 경우를 각각 계산한 뒤 더해야 한다.
최종 점검 기준
- 한 경로의 연속 단계인가? → 곱한다.
- 같은 결과에 이르는 서로 배반인 경로인가? → 더한다.
- 경로들이 동시에 일어날 수 있는가? → 단순 덧셈 전에 교집합을 확인한다.