쌍촌동 고2수학과외







같은 결과에 도착하는 경로는 곱하지 않고 더한다
확률의 곱셈정리에서 가장 흔한 오류는 한 경로 안의 곱셈과 여러 경로 사이의 덧셈을 구분하지 않는 것이다. 쌍촌동과외 수업에서도 트리의 가지를 끝까지 따라간 뒤, 같은 결과에 도달하는 경로를 묶어 계산한다.
학생 풀이 기록에서 발견한 오류
어떤 사건이 두 경로를 통해 일어난다고 하자.
- 경로 1: 첫 단계 확률이 0.6, 다음 단계에서 성공할 확률이 0.5
- 경로 2: 첫 단계 확률이 0.4, 다음 단계에서 성공할 확률이 0.75
각 경로의 확률은 다음과 같다.
경로 1: 0.6 × 0.5 = 0.3
경로 2: 0.4 × 0.75 = 0.3
두 경로는 동시에 일어날 수 없는 서로 배반인 사건이므로 원하는 확률은
0.3 + 0.3 = 0.6
그런데 학생은 모든 수를 한꺼번에 곱하여
0.6 × 0.4 × 0.5 × 0.75 = 0.09
라고 계산했다. 이는 서로 다른 경로를 동시에 선택한 것으로, 문제의 사건과 일치하지 않는다.
트리에서 곱과 합의 위치 확인하기
경로 안에서는 곱셈
연속해서 일어나는 조건부 사건은 곱셈정리를 사용한다.
P(A∩B) = P(A)P(B|A)
따라서 하나의 가지를 따라갈 때는 각 단계의 확률을 곱한다.
경로 사이는 덧셈
원하는 최종 결과에 도달하는 경로가 서로 배반이라면 각 경로의 확률을 더한다.
P(원하는 결과) = P(경로 1) + P(경로 2) + ⋯
즉, 이 문제의 구조는
(0.6 × 0.5) + (0.4 × 0.75)
이다. 괄호 안은 경로별 곱셈이고, 괄호 사이의 기호는 경로를 합치는 덧셈이다.
기호를 바꾼 재구성 문제
사건 A에 도달하는 경로가 B와 C로 나뉘며 두 경로가 서로 배반이라고 하자. 다음 조건이 주어졌다.
P(B)=x, P(A|B)=y, P(C)=1-x, P(A|C)=z
그러면
P(A)=xy+(1-x)z
xyz(1-x)처럼 네 값을 모두 곱하면 경로 B와 C를 동시에 선택한 셈이다. 실제로는 B를 거치는 경우와 C를 거치는 경우를 각각 계산한 뒤 더해야 한다.
최종 점검 기준
- 한 경로의 연속 단계인가? → 곱한다.
- 같은 결과에 이르는 서로 배반인 경로인가? → 더한다.
- 경로들이 동시에 일어날 수 있는가? → 단순 덧셈 전에 교집합을 확인한다.
처음 고른 방법을 바꿔야 할 때
풀이가 막혔다면 같은 계산을 반복하기 전에 사용하지 않은 조건이 남았는지 확인해 보세요. 다른 방법을 떠올렸다면 무엇 때문에 방향을 바꿨는지도 짧게 남깁니다. 고2 학습에서는 정답 풀이만 보관하기보다 방법을 선택한 근거를 기록하는 것이 도움이 됩니다.
중간 근거가 빠진 답안을 점검하기
고2 서술형을 준비할 때 답이 맞은 풀이에서 한 줄을 가려 보세요. 앞뒤 식만으로 그 단계가 왜 가능한지 설명되는지 확인하면 생략한 근거를 찾기 쉽습니다. 학교에서 제공한 답안 기준이 있다면 그 요구를 우선하여 필요한 설명을 보완해야 합니다.
현재 학습에서 함께 살펴볼 범위
고등 수학
현재 수강 과목과 시험 범위를 먼저 확인하고 개념, 식의 변형, 함수와 그래프, 문제 조건의 해석을 연결합니다. 선택 과목은 실제 이수 범위에 맞춰 준비하며 내신 답안과 모의고사 풀이 시간은 구분해 점검합니다.
고2 점검 기준
실제 수강하는 선택 과목과 학교 평가 범위를 확인합니다. 모든 학생에게 같은 선택 과목의 내용을 적용하지 않습니다.
수업 진행 예시
선택 과목: 변화율의 의미
미분을 배우는 과목을 수강한다면 f(x) = x³에서 f′(x) = 3x²를 구하고 x = 1에서의 순간변화율이 3임을 확인합니다. 계산 규칙을 적용하는 것과 그래프에서 변화율을 해석하는 것을 구분합니다.
선택 과목: 확률의 조건
확률을 배우는 과목을 수강한다면 공정한 주사위에서 짝수가 나올 확률을 3/6 = 1/2로 구합니다. 가능한 결과가 같은 가능성을 갖는다는 조건을 확인한 뒤 전체 경우와 해당 경우를 구분합니다.
위 내용은 지도 범위와 연습 방법을 설명하는 예시입니다. 학생이 이미 배운 내용과 현재 진도에 맞춰 적용하며, 모든 내용을 한 수업에서 진행하지 않습니다.
수업 진행 안내
상담 → 선생님 연결 → 첫 수업 → 정규 수업
학생의 학습 상황을 상담하고, 선생님과 수업 방식이 맞는지 확인한 뒤 시간·횟수·비용을 정합니다. 숙제 확인과 보호자 피드백은 학생별로 조율하며, 보강과 일정·선생님 변경이 가능합니다.
고등 과외 수업료
| 학교급 | 방문 수업 | 화상 수업 |
|---|---|---|
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