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쌍촌동 고2수학과외

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같은 결과에 도착하는 경로는 곱하지 않고 더한다

확률의 곱셈정리에서 가장 흔한 오류는 한 경로 안의 곱셈과 여러 경로 사이의 덧셈을 구분하지 않는 것이다. 쌍촌동과외 수업에서도 트리의 가지를 끝까지 따라간 뒤, 같은 결과에 도달하는 경로를 묶어 계산한다.

학생 풀이 기록에서 발견한 오류

어떤 사건이 두 경로를 통해 일어난다고 하자.

  • 경로 1: 첫 단계 확률이 0.6, 다음 단계에서 성공할 확률이 0.5
  • 경로 2: 첫 단계 확률이 0.4, 다음 단계에서 성공할 확률이 0.75

각 경로의 확률은 다음과 같다.

경로 1: 0.6 × 0.5 = 0.3

경로 2: 0.4 × 0.75 = 0.3

두 경로는 동시에 일어날 수 없는 서로 배반인 사건이므로 원하는 확률은

0.3 + 0.3 = 0.6

그런데 학생은 모든 수를 한꺼번에 곱하여

0.6 × 0.4 × 0.5 × 0.75 = 0.09

라고 계산했다. 이는 서로 다른 경로를 동시에 선택한 것으로, 문제의 사건과 일치하지 않는다.

트리에서 곱과 합의 위치 확인하기

경로 안에서는 곱셈

연속해서 일어나는 조건부 사건은 곱셈정리를 사용한다.

P(A∩B) = P(A)P(B|A)

따라서 하나의 가지를 따라갈 때는 각 단계의 확률을 곱한다.

경로 사이는 덧셈

원하는 최종 결과에 도달하는 경로가 서로 배반이라면 각 경로의 확률을 더한다.

P(원하는 결과) = P(경로 1) + P(경로 2) + ⋯

즉, 이 문제의 구조는

(0.6 × 0.5) + (0.4 × 0.75)

이다. 괄호 안은 경로별 곱셈이고, 괄호 사이의 기호는 경로를 합치는 덧셈이다.

기호를 바꾼 재구성 문제

사건 A에 도달하는 경로가 B와 C로 나뉘며 두 경로가 서로 배반이라고 하자. 다음 조건이 주어졌다.

P(B)=x, P(A|B)=y, P(C)=1-x, P(A|C)=z

그러면

P(A)=xy+(1-x)z

xyz(1-x)처럼 네 값을 모두 곱하면 경로 B와 C를 동시에 선택한 셈이다. 실제로는 B를 거치는 경우와 C를 거치는 경우를 각각 계산한 뒤 더해야 한다.

최종 점검 기준

  • 한 경로의 연속 단계인가? → 곱한다.
  • 같은 결과에 이르는 서로 배반인 경로인가? → 더한다.
  • 경로들이 동시에 일어날 수 있는가? → 단순 덧셈 전에 교집합을 확인한다.

쌍촌동 고2수학과외 학부모 후기

가방에서 시험지를 꺼내 정리하길래 옆에서 잠깐 보게 됐어요. 어려운 문제에 별표를 해둔 게 아니라, 다시 확인할 계산 줄 번호를 따로 적어놨더라고요. 예전에는 답만 맞으면 중간에 어떻게 계산했는지는 다시 들여다보지 않던 아이였거든요. 쌍촌동 수학과외 이야기를 나누던 중에도 그 시험지를 펼쳐 보였는데, 표시가 꽤 구체적이라 의외로 눈에 들어왔어요. 막연히 어려웠다고 남긴 게 아니라 어느 줄을 다시 봐야 하는지 짚어둔 모습이었습니다. 새 문제집을 처음 풀 때도 같은 식으로 계산 줄 번호를 남겼어요. 확인을 끝낸 부분과 다시 살펴볼 부분을 나눠 놓아서, 한 문제 안에서도 어디까지 봤는지가 구분되어 있더라고요.

★★★★★학부모 후기

수업 자료를 출력해 둔 날이라 아이가 공부를 다 끝낸 줄 알았는데, 책상 위 시험지를 다시 보고 있더라고요. 틀린 문제를 유형별로 따로 옮겨 적은 게 아니라 원본에 바로 이유를 짧게 써 두었어요. 어디에서 막혔는지 표시가 되어 있어서 그 부분부터 다시 살펴보는 모습이 눈에 띄었습니다. 예전에는 다시 확인할 때 문제마다 비슷한 시간을 들이며 처음부터 훑는 편이었거든요. 쌍촌동 수학과외라는 말을 듣고 자료를 챙긴 뒤에도, 교재를 가방에 넣기 전 시험지를 한 번 더 펼쳐 보였어요. 틀린 이유가 적힌 곳을 확인하고 나니 다시 볼 지점이 분명해진 듯 그 자리에서 공부를 마무리하더라고요.

★★★★☆학부모 후기

쌍촌동에서 수학 과외를 시작한 뒤, 시험이 다가오면 아는 문제도 답을 몇 번씩 확인하던 아이가 조금 편안해졌습니다. 주말에 늦잠을 자 수업 시간에 집중이 흐트러진 날에도 선생님은 진도만 서두르지 않고 이해한 정도를 살폈고, 수업 시간을 조정한 뒤에는 부모에게 결과뿐 아니라 학습 태도까지 자세히 알려주셨습니다. 요즘은 수업 전에 궁금한 문제를 스스로 표시해두는 모습이 눈에 띕니다.

★★★★☆학부모 후기

쌍촌동에서 수학 과외를 시작했을 때만 해도 아이는 공부 계획을 세워도 금세 미루고, 수업에서 배운 내용도 집에서는 잘 다시 보지 않았습니다. 선생님은 시험 범위를 절반쯤 공부한 시점부터 숙제와 복습을 꼼꼼히 확인하면서, 집중이 흐트러지면 같은 설명을 반복하기보다 문제나 활동을 바꿔 부담을 덜어 주셨습니다. 시험기간에도 수학을 시작할 때 망설이는 모습이 줄어든 것 같아 꾸준한 변화가 고마웠습니다.

★★★★☆학부모 후기

주말에 늦잠을 자 수업 시간을 조정한 날에도 아이가 쌍촌동 수학과외 일정에 금세 적응하는 모습이 기억에 남았습니다. 시험이 다가오면 마음만 급해 질문할 문제를 준비하지 않던 아이에게 선생님은 그날 할 일과 다음에 확인할 내용을 나누어 안내하고, 수업 태도도 세심하게 알려주셨습니다. 요즘은 수업 전에 궁금한 문제를 스스로 표시해두어 작은 변화가 느껴집니다.

★★★★★학부모 후기