문흥동 중2수학과외
문흥동 중2수학과외에서 확인한 연립방정식의 연결
문흥동과외 수업에서 학생은 두 조건을 각각 식으로 바꾸는 연립일차방정식 문제를 풀었다. 문흥동중2수학과외에서 다룬 문제는 어떤 수의 합과 차를 이용해 두 수를 구하는 유형이었지만, 조건이 문장과 표로 섞여 있어 식을 세우는 과정부터 확인할 필요가 있었다. 문흥중학교와 문산중학교가 포함된 생활권의 학습 사례로, 용두주공아파트1차가 있는 생활권이나 더샵광주포레스트작은도서관 인근에서 접할 법한 일상 자료를 문제 상황으로 삼았다.
문장 속 두 조건을 식으로 옮긴 장면
학생은 먼저 두 수를 각각 x, y로 정하고, 문제에서 말한 ‘두 수의 합’을 찾아 x+y로 표시했다. 이어 ‘첫 번째 수는 두 번째 수보다 7 크다’라는 문장에 밑줄을 긋고 x-y=7이라고 적었다. 두 식을 세로로 맞춰 쓴 뒤, x+y=19, x-y=7의 형태를 확인하고 가감법을 선택했다.
첫 번째 식과 두 번째 식의 왼쪽 항을 더하면 2x가 된다는 점을 말로 설명한 뒤, 오른쪽도 19+7로 계산해 x=13을 얻었다. 아직 y는 구하지 않고 첫 식에 x=13을 대입하여 13+y=19, y=6으로 정리했다. 학생은 답을 적기 전에 두 값을 두 원래 식에 각각 넣었다.
13+6=19이고, 13-6=7이므로 두 조건을 모두 만족한다.
이 과정에서 식을 세우는 판단은 맞았지만, 표현이 바뀐 다음 줄에서 계산의 흐름이 끊겼다.
부호를 놓친 한 줄을 바로잡다
다음 문제는 두 수의 합이 24이고, 두 번째 수가 첫 번째 수보다 5 작다는 내용이었다. 학생은 x+y=24까지 바르게 적은 뒤, 두 번째 조건을 ‘첫 번째 수에서 두 번째 수를 뺀 값이 5’로 읽어 x-y=5라고 썼다. 그러나 문제의 표현은 y가 x보다 5 작다는 뜻이므로, 학생이 세운 식 자체가 최초의 잘못된 판단이었다.
교사는 계산을 계속하지 않고 ‘누가 누구보다 작은가’를 식 옆에 다시 표시하게 했다. 학생은 y=x-5라고 먼저 적은 뒤, 이를 x-y=5로 바꾸어 같은 관계임을 확인했다. 반대로 ‘두 번째 수에서 첫 번째 수를 뺀 값’이라고 표현되면 y-x=-5가 된다는 것도 함께 대조했다. 이때 이미 맞았던 합의 식과 가감법 과정은 그대로 유지하고, 두 번째 조건의 방향만 바로잡았다.
학생은 두 식을 다시 적었다.
- x+y=24
- x-y=5
두 식을 더해 2x=29, x=14.5를 얻고, y=9.5를 계산했다. 정수가 아니어도 문제의 조건에는 어긋나지 않는다는 점을 확인하기 위해 14.5+9.5=24, 14.5-9.5=5를 직접 계산했다. 숫자가 정수인지보다 두 원래 조건을 만족하는지가 검산 기준이라는 점을 식으로 확인한 것이다.
식이 아닌 표와 대입법으로 바꾸어 적용하기
같은 관계를 숫자만 바꿔 반복하지 않도록, 다음 문제에서는 두 사람의 점수를 표로 제시했다. 두 점수의 합은 31점이고, A의 점수는 B보다 9점 높았다. 학생은 표의 열 제목을 보고 A 점수를 x, B 점수를 y로 정한 뒤, 표 아래에 x+y=31을 적었다. ‘A가 B보다 9점 높다’는 문장은 x=y+9로 옮겼다.
이번에는 가감법 대신 대입법을 선택했다. x=y+9를 합의 식에 넣어 y+9+y=31로 만들고, 2y=22에서 y=11, x=20을 구했다. 앞서 문장 순서가 바뀌었을 때 부호를 놓쳤던 경험을 떠올려 ‘높다’의 기준이 A인지 B인지 다시 표시했다. 표의 점수 순서와 식의 미지수 순서가 같다는 것도 확인했다.
도움 없이 세운 첫 판단과 최종 검증
수업 끝의 새 문제는 두 상자에 들어 있는 물건 수의 합이 38개이고, 큰 상자의 물건 수가 작은 상자보다 6개 많다는 문장으로 제시됐다. 이번에는 힌트 없이 학생이 먼저 큰 상자를 x, 작은 상자를 y로 정했다. 이어 x+y=38, x-y=6을 적으며 ‘많다’는 말의 기준이 큰 상자라는 이유를 설명했다.
학생은 두 식을 더해 x=22를 구하고, 합의 식에 대입하여 y=16을 얻었다. 마지막으로 22+16=38, 22-16=6을 각각 계산했다. 또한 큰 상자가 작은 상자보다 6개 많으므로 x가 y보다 커야 한다고 말하며 22>16도 확인했다. 처음 보는 문장에서도 미지수의 뜻과 단위를 먼저 정하고, 두 조건을 식으로 옮긴 뒤 원래 문장으로 되돌려 검산하는 판단을 스스로 재현했다.