문흥동 중2수학과외

문흥동 중2수학과외에서 확인한 연립방정식의 연결

문흥동과외 수업에서 학생은 두 조건을 각각 식으로 바꾸는 연립일차방정식 문제를 풀었다. 문흥동중2수학과외에서 다룬 문제는 어떤 수의 합과 차를 이용해 두 수를 구하는 유형이었지만, 조건이 문장과 표로 섞여 있어 식을 세우는 과정부터 확인할 필요가 있었다.

문장 속 두 조건을 식으로 옮긴 장면

학생은 먼저 두 수를 각각 x, y로 정하고, 문제에서 말한 ‘두 수의 합’을 찾아 x+y로 표시했다. 이어 ‘첫 번째 수는 두 번째 수보다 7 크다’라는 문장에 밑줄을 긋고 x-y=7이라고 적었다. 두 식을 세로로 맞춰 쓴 뒤, x+y=19, x-y=7의 형태를 확인하고 가감법을 선택했다.

첫 번째 식과 두 번째 식의 왼쪽 항을 더하면 2x가 된다는 점을 말로 설명한 뒤, 오른쪽도 19+7로 계산해 x=13을 얻었다. 아직 y는 구하지 않고 첫 식에 x=13을 대입하여 13+y=19, y=6으로 정리했다. 학생은 답을 적기 전에 두 값을 두 원래 식에 각각 넣었다.

13+6=19이고, 13-6=7이므로 두 조건을 모두 만족한다.

이 과정에서 식을 세우는 판단은 맞았지만, 표현이 바뀐 다음 줄에서 계산의 흐름이 끊겼다.

부호를 놓친 한 줄을 바로잡다

다음 문제는 두 수의 합이 24이고, 두 번째 수가 첫 번째 수보다 5 작다는 내용이었다. 학생은 x+y=24까지 바르게 적은 뒤, 두 번째 조건을 ‘첫 번째 수에서 두 번째 수를 뺀 값이 5’로 읽어 x-y=5라고 썼다. 그러나 문제의 표현은 y가 x보다 5 작다는 뜻이므로, 학생이 세운 식 자체가 최초의 잘못된 판단이었다.

교사는 계산을 계속하지 않고 ‘누가 누구보다 작은가’를 식 옆에 다시 표시하게 했다. 학생은 y=x-5라고 먼저 적은 뒤, 이를 x-y=5로 바꾸어 같은 관계임을 확인했다. 반대로 ‘두 번째 수에서 첫 번째 수를 뺀 값’이라고 표현되면 y-x=-5가 된다는 것도 함께 대조했다. 이때 이미 맞았던 합의 식과 가감법 과정은 그대로 유지하고, 두 번째 조건의 방향만 바로잡았다.

학생은 두 식을 다시 적었다.

• x+y=24
• x-y=5

두 식을 더해 2x=29, x=14.5를 얻고, y=9.5를 계산했다. 정수가 아니어도 문제의 조건에는 어긋나지 않는다는 점을 확인하기 위해 14.5+9.5=24, 14.5-9.5=5를 직접 계산했다. 숫자가 정수인지보다 두 원래 조건을 만족하는지가 검산 기준이라는 점을 식으로 확인한 것이다.

식이 아닌 표와 대입법으로 바꾸어 적용하기

같은 관계를 숫자만 바꿔 반복하지 않도록, 다음 문제에서는 두 사람의 점수를 표로 제시했다. 두 점수의 합은 31점이고, A의 점수는 B보다 9점 높았다. 학생은 표의 열 제목을 보고 A 점수를 x, B 점수를 y로 정한 뒤, 표 아래에 x+y=31을 적었다. ‘A가 B보다 9점 높다’는 문장은 x=y+9로 옮겼다.

이번에는 가감법 대신 대입법을 선택했다. x=y+9를 합의 식에 넣어 y+9+y=31로 만들고, 2y=22에서 y=11, x=20을 구했다. 앞서 문장 순서가 바뀌었을 때 부호를 놓쳤던 경험을 떠올려 ‘높다’의 기준이 A인지 B인지 다시 표시했다. 표의 점수 순서와 식의 미지수 순서가 같다는 것도 확인했다.

도움 없이 세운 첫 판단과 최종 검증

수업 끝의 새 문제는 두 상자에 들어 있는 물건 수의 합이 38개이고, 큰 상자의 물건 수가 작은 상자보다 6개 많다는 문장으로 제시됐다. 이번에는 힌트 없이 학생이 먼저 큰 상자를 x, 작은 상자를 y로 정했다. 이어 x+y=38, x-y=6을 적으며 ‘많다’는 말의 기준이 큰 상자라는 이유를 설명했다.

학생은 두 식을 더해 x=22를 구하고, 합의 식에 대입하여 y=16을 얻었다. 마지막으로 22+16=38, 22-16=6을 각각 계산했다. 또한 큰 상자가 작은 상자보다 6개 많으므로 x가 y보다 커야 한다고 말하며 22>16도 확인했다. 처음 보는 문장에서도 미지수의 뜻과 단위를 먼저 정하고, 두 조건을 식으로 옮긴 뒤 원래 문장으로 되돌려 검산하는 판단을 스스로 재현했다.