문흥동 고1수학과외
문흥동 고1수학과외, 조건이 있는 배열에서 출발점을 놓치지 않는 연습
문흥동의 한 학생은 조건이 붙은 배열 문제에서 경우를 빠르게 나누려 했지만, 첫 자리에 올 수 없는 대상을 뒤늦게 발견하면서 전체 경우를 다시 세어야 했다. 계산 자체보다 배열의 시작 조건을 놓친 것이 오답의 핵심이었다.
첫 자리의 제한을 먼저 읽다
문제는 서로 다른 문자 A, B, C, D를 한 줄로 배열하되 A가 B보다 앞에 오도록 하는 상황이었다. 학생은 가능한 배열을 곧바로 나열하면서 A와 B의 위치 관계를 확인하지 않았다. 그 결과 조건을 만족하지 않는 배열까지 포함했다.
교사는 배열을 시작하기 전에 각 위치에 들어갈 수 있는 대상을 대응표로 표시하게 했다. 첫 번째 칸에는 A 또는 B가 올 수 없다는 식으로 제한을 적고, 남은 자리에서 A와 B의 순서를 확인하도록 했다. 학생은 이 과정을 통해 ‘경우를 세는 것’보다 먼저 ‘출발 가능한 경우’를 정해야 한다는 점을 파악했다.
배열의 개수를 세기 전에 첫 자리에서 조건을 위반하는 선택이 있는지 확인한다.
문장을 배열 조건으로 바꾸어 적용하기
이후에는 같은 문자를 배열하는 문제가 아니라, 네 명의 발표 순서를 정하는 문제로 바꾸었다. C가 첫 번째 발표자가 될 수 없고 A가 B보다 먼저 발표해야 한다는 조건을 제시하자, 학생은 사람의 이름을 바로 나열하지 않고 발표 순서의 위치를 먼저 살폈다. 조건을 위치 관계로 바꾸자 불필요한 경우가 줄었고, A와 B의 순서를 확인한 뒤 나머지 대상을 배치할 수 있었다.
이번에는 표 대신 짧은 문장으로 조건을 적게 하여, 표현이 달라져도 같은 제한을 찾아내는지 확인했다. 학생은 ‘A가 B보다 앞선다’와 ‘B 뒤에 A가 온다’가 같은 의미인지 비교하며 조건의 손실을 막았다.
새로운 배열에서 조건을 보존했는가
- 첫 번째 위치에 올 수 있는 대상을 먼저 판정했는가
- A와 B의 순서 조건을 모든 배열에 적용했는가
- 조건을 만족하지 않는 배열을 중복해서 세지 않았는가
마지막에는 숫자 대신 다섯 명의 좌석 배치로 바꾸고, 특정 학생이 양 끝자리에 앉을 수 없다는 조건을 추가했다. 학생은 앞서 만든 대응표를 그대로 복사하지 않고, 양 끝자리부터 가능한 대상을 따로 표시해 배열을 점검했다. 처음 보는 형태에서도 출발 위치와 순서 조건을 분리해 확인하면서, 단순 나열이 아닌 근거 있는 경우 분류로 답을 검증했다.