문흥동 중1수학과외

문흥동 중1수학과외에서 이어 간 일차방정식 풀이

문흥동과외 수업에서 학생은 문흥중학교가 포함된 생활권의 서술형 문제를 풀며 일차방정식의 이항 의미를 확인했다.

한 줄의 식에서 드러난 판단

문제는 “어떤 수에 7을 더한 값의 3배가 30이다. 어떤 수를 구하여라.”였다. 학생은 공책에 곧바로 3x+7=30이라고 적었다. 여기까지는 문장의 뜻을 잘 옮겼다. 그러나 다음 줄에서 7을 오른쪽으로 옮기며 3x=30+7이라고 썼다.

계산 결과는 x=37/3이 되었고, 학생은 3을 나누는 과정만 다시 살폈다. 실제로 풀이가 어긋난 최초의 판단은 계산 실수가 아니라, 등식의 한쪽 항을 옮길 때 부호가 바뀌는 이유를 확인하지 않고 모양만 복사한 것이었다. 7은 왼쪽에서 더해지고 있으므로 오른쪽에서는 빼야 한다.

3x+7=30
3x+7-7=30-7
3x=23
x=23/3

교정할 때는 이미 적은 첫 식을 지우지 않고, 양변에서 같은 수 7을 빼는 줄을 나란히 덧붙였다. 이렇게 쓰면 ‘이항하면 부호가 바뀐다’는 말을 외우는 데 그치지 않고, 등식의 양변에 같은 연산을 했기 때문에 7이 오른쪽에서 -7로 나타난다는 것을 식 안에서 확인할 수 있다. 학생은 구한 값 23/3을 원래 식에 대입해 3×23/3+7=23+7=30이라고 검산했다.

문장과 표현을 바꾸어 다시 세운 식

같은 개념을 숫자만 바꾸지 않도록 문제의 형태를 바꾸었다. 이번에는 “어떤 수의 4배에서 5를 뺀 값이 19보다 2만큼 크다”라는 문장을 제시했다. 학생은 먼저 ‘어떤 수’를 x로 정하고, ‘19보다 2만큼 크다’를 21로 바꾸어 4x-5=21을 만들었다. 이어 양변에 5를 더해 4x=26, 양변을 4로 나누어 x=13/2를 얻었다.

중간에 학생은 5를 오른쪽으로 옮기며 21-5라고 적으려 했지만, 바로 앞의 등식에서 왼쪽에 -5가 있다는 표시를 보고 양변에 5를 더하는 방식으로 고쳤다. 식의 모양을 따라가는 대신 현재 식의 항과 연산을 읽은 것이다. “x는 문장 속 어떤 수를 뜻하고, 5를 없애려면 양변에 5를 더해야 하므로 오른쪽은 21+5가 된다”고 풀이 옆에 한 줄로 설명했다.

분수와 소수 조건에서도 같은 원리 확인

다음 문제는 “어떤 수의 0.5배에 1.2를 더하면 3.7이다”였다. 학생은 문제를 읽자마자 계산하지 않고 먼저 x의 뜻을 적었다. 0.5x+1.2=3.7에서 양변에 1.2를 빼서 0.5x=2.5를 만들고, 양변을 0.5로 나누어 x=5를 구했다.

이번에는 답만 적지 않고 원래 조건을 다시 대조했다. 0.5×5+1.2=2.5+1.2=3.7이므로 조건을 만족한다는 것과, x가 나타내는 값의 단위가 처음 문장의 ‘어떤 수’와 일치한다는 점까지 적었다. 이어 표현을 분수로 바꾸어 1/2x+6/5=37/10을 제시했을 때도, 먼저 6/5를 양변에서 빼고 그다음 1/2로 나누었다. 소수와 분수의 모습이 달라도 이항의 근거는 같았다.

힌트 없이 재현한 마지막 풀이

단원 마무리에서는 “한 수의 2배에서 3을 뺀 값은 그 수에 8을 더한 값과 같다”라는 새 조건을 주고 도움 없이 풀게 했다. 학생은 문장을 다시 읽고 x를 한 수로 정한 뒤 2x-3=x+8을 세웠다. 양변에서 x를 빼고 양변에 3을 더해 x=11을 얻었다.

학생은 “왼쪽과 오른쪽에 같은 연산을 해야 등식이 유지된다. -3을 없애려고 양변에 3을 더했고, 남은 x=11을 원래 식에 넣으면 22-3=11+8=19이므로 조건이 맞다”고 설명했다. 문흥동중1수학과외 수업에서 확인한 최종 기준은 정답의 숫자가 아니라, 새 문장을 읽고 미지수를 정한 뒤 이항의 이유와 원래 조건에 대한 검산까지 스스로 이어 가는 것이었다.