문흥동 중3수학과외

문흥동 중3수학과외에서 살펴본 ‘±’ 하나의 역할

문흥동과외 수업에서 단원평가 문제를 정리하던 중, 학생이 같은 이차방정식을 두 가지 모양으로 적어 놓은 풀이를 보여 주었습니다. 문흥중학교와 문산중학교가 포함된 생활권에서 시험 대비를 할 때도 자주 만나는 유형이지만, 이번에는 근의 공식의 계산 전체보다 공식 안의 ±가 두 해를 만드는 과정에만 초점을 맞췄습니다.

한 줄의 부호가 사라진 풀이

문제는 다음과 같았습니다.

2x²-5x-3=0을 풀어라.

학생은 먼저 계수와 부호를 표시했습니다.

• a=2, b=-5, c=-3
• x={-(-5)±√{(-5)²-4·2·(-3)}\over 2·2}
• x={5±√49\over4}

여기까지는 정확했습니다. 그런데 다음 줄에 학생은 “√49=7이므로 x=(5+7)/4=3”이라고 적고, 답을 x=3 하나로 끝냈습니다. 계산 자체인 12÷4=3은 맞았지만, 결과가 틀어지기 전 이미 ±를 + 하나로 바꾸어 버린 판단이 있었습니다. 공식의 ±는 계산 편의를 위한 기호가 아니라, 같은 분자에서 서로 다른 두 경우를 확인하라는 표시입니다.

고친 것은 공식의 두 경우뿐

풀이의 앞부분은 그대로 두고, ± 다음만 두 줄로 나누었습니다.

x=(5+7)/4 또는 x=(5-7)/4

따라서 첫 번째 해는 x=3, 두 번째 해는 x=-1/2입니다. 학생에게 새로운 풀이법을 여러 가지 제시하지 않고, “±를 만나면 반드시 +인 경우와 -인 경우를 각각 끝까지 계산한다”는 한 행동만 다시 적용하게 했습니다. 원래 적어 둔 a, b, c 확인과 제곱근 계산은 그대로 유지했습니다.

이어 문제의 표현을 바꾸어 확인했습니다.

4x²+4x-3=0의 두 해를 모두 구하여라.

학생은 a=4, b=4, c=-3을 식 옆에 표시한 뒤

x={-4±√{4²-4·4·(-3)}\over8} ={-4±√64\over8} ={-4±8\over8}

이라고 정리했습니다. 이번에는 결과를 한 줄로 뭉치지 않고, x=(-4+8)/8=1/2, x=(-4-8)/8=-3/2로 나누어 적었습니다. 앞 문제와 계수만 바꾼 반복이 아니라, 이번에는 앞의 계수가 양수이고 가운데 항의 부호도 달라졌습니다. 그래도 해를 결정하는 것은 원래 방정식의 a, b, c와 공식 속 두 선택임을 확인했습니다.

표현이 달라져도 먼저 식을 세우기

문흥동중3수학과외 수업의 다음 활동에서는 방정식을 바로 주지 않고, 다음처럼 제시했습니다.

어떤 수 x에 대하여 3(x-1)²=2x+5일 때 x의 값을 모두 구하여라.

학생은 양변을 전개해 3x²-6x+3=2x+5, 다시 3x²-8x-2=0으로 정리했습니다. 그 뒤에야 a=3, b=-8, c=-2를 표시하고 근의 공식에 대입했습니다.

x={8±√{(-8)²-4·3·(-2)}\over6} ={8±√88\over6} ={8±2√22\over6} ={4±√22\over3}

이번에는 질문이 “두 해”였으므로 x=(4+√22)/3과 x=(4-√22)/3을 모두 기록했습니다. 근삿값을 따로 구해 다른 개념으로 넘어가지 않고, 두 표현이 실제로 원래 식을 만족하는지만 확인하기로 했습니다. 근의 공식의 ±를 유지한 채 식의 모양과 질문 방향을 바꾸어도 같은 기준을 선택한 장면입니다.

도움 없이 남긴 마지막 기록

마지막에는 힌트 없이 다음 문제를 제시했습니다.

5x²-2x=3일 때 해를 구하고, 두 값을 원래 식에 넣어 확인하여라.

학생은 먼저 5x²-2x-3=0으로 만들고, a=5, b=-2, c=-3을 스스로 적었습니다.

x={2±√{(-2)²-4·5·(-3)}\over10} ={2±√64\over10} ={2±8\over10}

그 후 x=1일 때 5·1²-2·1=3, x=-3/5일 때 5·(-3/5)²-2·(-3/5)=9/5+6/5=3이라고 원래 식에 대입했습니다. 마지막으로 “±는 두 해 중 하나를 고르는 표시가 아니라, +와 -를 각각 계산하라는 표시이고, 두 값을 원래 방정식에 넣어 같은 결과가 나오는지 확인했다”고 설명했습니다. 처음 보는 배열에서도 필요한 계수와 조건을 먼저 세우고, 두 경우를 빠뜨리지 않은 것입니다.