장덕동 중등수학과외

장덕동중등수학과외, 두 직선의 교점 (2,12)를 두 식에 대입해 확인하는 방법

일차함수의 교점을 구할 때 답을 맞히는 것과 그 답이 왜 성립하는지 설명하는 것은 조금 다른 확인입니다. 예를 들어 y=x+10과 y=-x+14의 교점을 구하는 문제에서 두 식의 y값을 같게 놓으면 x+10=-x+14가 됩니다. 2x=4이므로 x=2이고, y=x+10에 대입하면 y=12입니다. 따라서 교점은 (2,12)입니다. 이때 중요한 질문은 “교점의 y좌표 12도 두 직선에서 같은가?”입니다. 장덕동중등수학과외 수업에서는 정답을 다시 말하게 하기보다 식, 직선 그림, 순서쌍이 가리키는 관계가 서로 같은지 확인합니다.

교점은 두 직선이 함께 지나는 한 점이다

좌표평면에서 점 (2,12)는 x좌표가 2이고 y좌표가 12인 점입니다. 이 점이 첫 번째 직선 y=x+10 위에 있으려면 12=2+10이 성립해야 합니다. 실제로 오른쪽도 12이므로 성립합니다. 두 번째 직선 y=-x+14에는 12=-(2)+14를 대입하며, 오른쪽 역시 12입니다. 즉 같은 x=2를 넣었을 때 두 식 모두 같은 y=12를 내놓습니다. 그래서 (2,12)는 한 직선 위의 점이 아니라 두 직선이 공통으로 지나는 점입니다.

두 식의 y값을 같게 놓는 이유도 여기에서 나옵니다. 교점에서는 가로 위치와 세로 위치가 동시에 같아야 하므로, 첫 직선의 y값 x+10과 둘째 직선의 y값 -x+14가 같아야 합니다. x+10=-x+14에서 x만 구하고 멈추면 교점의 가로 위치만 확인한 셈입니다. 구한 x를 원래 식에 넣어 y까지 구하고, 순서쌍을 두 식에 각각 대입해야 교점과 공통 해의 연결이 완성됩니다.

맞힌 풀이에서도 표시와 설명을 맞춰 보기

정답이 (2,12)로 맞았다면 이를 오답처럼 고칠 필요는 없습니다. 다만 풀이 기록에서 x+10=-x+14라는 식 옆에 “두 직선의 y값이 같다”라고 적거나, 그림에서 두 직선이 만나는 점에 (2,12)를 표시해 보면 생략된 근거를 드러낼 수 있습니다. “왜 y값을 같게 두었을까?”라는 짧은 질문에는 “교점은 두 직선에 모두 있으므로 같은 x에서 y도 같다”처럼 답할 수 있습니다. 말이 길지 않아도 식의 등호, 두 직선, 한 점이라는 관계가 연결되면 충분한 설명이 됩니다.

말로 바로 설명하기 어렵다면 그림이나 대입식으로 표현해도 됩니다. 반대로 그림에 점만 표시하고 두 식에 대입한 결과를 연결하지 못한다면, 계산 절차를 기억한 경우인지 표현만 짧은 경우인지는 더 살펴볼 필요가 있습니다. 한 번의 반응으로 이유를 단정하지 않고, 학생이 적은 식과 표시한 점이 같은 뜻인지 비교하는 것이 핵심입니다.

두 번째 식이 바뀌면 공통 해도 다시 구한다

다음으로 두 번째 직선만 y=-x+16으로 바꾸면, 첫 번째 식 y=x+10은 유지되지만 만나는 위치는 달라집니다. 이번에는 x+10=-x+16이므로 2x=6, x=3입니다. y=x+10에 대입해 y=13을 얻으므로 교점은 (3,13)입니다. 검산은 13=3+10, 13=-(3)+16으로 합니다. 두 원래 식 모두 참이므로 (3,13)은 두 직선의 공통 해입니다. 상수항이 14에서 16으로 바뀌었으니 이전의 (2,12)를 그대로 쓰지 않고, 바뀐 식으로 다시 같은 y값 조건을 세워야 합니다.

며칠 뒤에는 정답을 가린 뒤 기본 문제에서 y좌표도 같은 이유를 식이나 그림으로 복원하게 하고, 이어 바뀐 두 번째 식의 교점을 도움 없이 구하게 합니다. (3,13)을 낸 뒤 두 식에 대입한 결과까지 제시하고, 두 번째 직선을 위로 옮겼을 때 교점이 어떻게 달라졌는지 근거와 함께 설명할 수 있는지를 확인하면 다음 학습의 기준이 분명해집니다.