장덕동 고3수학과외

그래프의 교점 수를 끝까지 계산하지 않는 판단

첫 30초 안에 그래프의 모양과 매개변수의 경계가 보이면 진행하고, 식을 계속 변형해야 할 것 같으면 뒤 문항으로 이동하겠다는 기준을 세우려 했다. 장덕동고3수학과외에서 다룬 다음 문제도 그 기준을 시험하기에 적절했다.

실수 a에 대하여 방정식 |x²-4x|=a의 실근의 개수를 구하여라.

학생은 곧바로 y=|x²-4x|의 그래프를 떠올렸다. x²-4x=x(x-4)이므로 원래 포물선은 x=0, 4에서 x축과 만나고, 절댓값을 취하면 x축 아래 부분이 위로 접힌다. 그런데 그래프를 그린 직후 a=0일 때도 교점이 두 개라고 적었다. 경계값을 확인하려고 했지만, 눈으로 그래프를 훑은 뒤 일반적인 경우의 교점 수를 먼저 세면서 x=2에서 생기는 접점을 놓친 것이다.

교점 수와 허용되는 해를 분리하다

오류의 시작은 그래프를 대략 그린 데 있지 않았다. 그래프에서 보이는 교점 수를 곧바로 해의 개수로 옮기면서, 수평선의 높이가 허용되는 값인지 확인하지 않은 것이 최초의 문제였다. 학생은 식 옆에 먼저 a≥0을 적었다. 좌변이 절댓값이므로 a<0에서는 해가 없다는 조건을 그래프보다 앞에 고정한 것이다.

그다음 경계값 a=0을 직접 대입했다.

x²-4x=0 이므로 x=0, 4이고, 실근은 두 개이다. 0<a<4에서는 양의 값이 포물선의 양쪽 바깥에서 각각 한 번, 가운데 솟은 부분에서 두 번 나타나므로 네 개가 된다. a=4에서는 가운데 부분의 최고점에 해당하는 접점이 하나로 합쳐져 세 개가 된다. a>4이면 바깥쪽에서만 두 개가 남는다.

• a<0: 0개
• a=0: 2개
• 0<a<4: 4개
• a=4: 3개
• a>4: 2개

학생은 모든 식을 다시 전개하지 않고, 실근 개수를 바꾸는 값만 표시했다. x축과 만나는 높이 0, 내부 꼭짓점의 높이 4가 경계라는 점을 기록하고, 그래프의 교점 수와 방정식의 허용 조건을 별도 칸에 나누었다. 장덕동고3수학과외에서 정한 실전 기준에 따라 90초 안에 이 표가 완성되지 않으면 표시 후 다음 문항으로 이동하고, 남은 시간에 경계값부터 재진입하기로 했다.

숫자가 아닌 조건의 위치를 바꾸어 적용

독립 적용에서는 같은 식의 수만 바꾸지 않고 표현을 바꿨다.

실수 k에 대하여 방정식 |x²+2x-3|=k의 서로 다른 실근이 3개가 되도록 하는 k의 값을 구하여라.

학생은 먼저 원식을 인수분해해 x²+2x-3=(x-1)(x+3)으로 만들고, 포물선의 꼭짓점이 x=-1, 함수값 -4임을 확인했다. 절댓값 그래프에서 원래 포물선의 양의 부분은 양 끝에 있고, 음의 부분은 -3과 1 사이에서 뒤집힌다. 따라서 k=0에서는 원래 식의 두 영점만 남고, 0<k<4에서는 네 교점, k=4에서는 가운데 부분이 접점으로 합쳐져 세 교점, k>4에서는 두 교점이다. 그러므로 조건을 만족하는 값은 k=4이다.

이번에는 그래프의 세 교점을 센 뒤 멈추지 않았다. k=4를 원래 식에 대입하여 |x²+2x-3|=4를 확인하고, x²+2x-7=0에서 두 근, x²+2x+1=0에서 중근 x=-1이 나온다는 것을 확인했다. 서로 다른 실근은 실제로 세 개였다. 절댓값 그래프에서의 접점 하나를 중근 하나로 연결한 셈이다.

시간을 줄여도 남은 판단

마지막 검증에서는 그래프의 꼭짓점 정보를 가리고, 문제에 제시된 식만으로 판단하게 했다. 학생은 먼저 a≥0을 적은 뒤, 미분으로 꼭짓점의 높이를 구할지 그래프의 대칭성으로 확인할지 선택했다. 계산 결과의 경계가 0과 4로 나오자 각각을 원식에 대입했고, 경계 사이와 바깥 구간의 실근 개수를 따로 적었다.

문항 순서를 바꾸고 제한 시간을 절반으로 줄인 세트에서도 학생은 한 줄의 계산이 길어지면 무작정 붙들지 않았다. 예상 교점 수와 실제 계산이 충돌할 때만 그 줄로 재진입하고, 먼저 a의 허용 범위와 경계값을 확인했다. 마지막 답을 맞혔는지가 아니라, 그래프와 계산이 어긋난 순간에 해의 조건을 다시 찾고 중근과 단순한 교점을 구별하는 행동이 유지되는지가 실전 판단의 기준으로 남았다.