장덕동 중3수학과외

장덕동 중3수학과외에서 살펴본 제곱근 해 선택

장덕동과외 수업에서 단원평가 직전 풀이 노트를 함께 확인했다. 장덕동중3수학과외에서도 이 장면을 계산 속도보다 먼저 살핀다.

노트에 남은 첫 식

문제는 다음과 같았다.

x² = 49를 만족하는 x의 값을 모두 구하여라.

학생은 문제를 읽은 뒤 49에 밑줄을 긋고, “49의 제곱근은 7”이라고 적었다. 이어서

x²=49 → x=√49 → x=7

이라고 계산했다. 7을 다시 제곱해 49가 되는지도 확인했으므로 계산 자체는 맞았다. 그러나 질문은 ‘값을 모두’ 구하라는 것이었고, 여기서 첫 판단이 이미 한쪽으로 기울었다. x²은 x가 음수여도 양수가 될 수 있다는 점을 식에 반영하지 않고, 예제에서 자주 먼저 보던 양의 값만 해로 선택한 것이다.

한 줄만 바꾸어 식을 완성하기

이 상황에서 계산을 전부 다시 할 필요는 없었다. 최초의 선택인 “제곱근을 하나만 적는다”는 행동만 고쳤다. x²=49에서 제곱해 49가 되는 수를 찾을 때는 7뿐 아니라 -7도 함께 적어야 한다.

x²=49 → x=±√49 → x=±7

따라서 해는 x=7, x=-7이다. 이미 구한 7은 그대로 두고, 제곱근을 취하는 순간에 ±를 함께 기록하는 기준 하나만 추가했다.

• 양의 후보: 7²=49
• 음의 후보: (-7)²=49

두 수가 모두 조건을 만족하므로 ‘x=7’만 적은 답은 틀리고, ‘x=±7’ 또는 ‘x=7 또는 x=-7’이 문제의 요구에 맞는다. 여기서 다른 단원의 공식이나 별도의 풀이법을 끌어오지 않고, x²=a에서 양쪽 제곱값을 확인하는 데만 집중했다.

표현을 바꾼 같은 개념의 문제

다음에는 숫자만 바꾼 식이 아니라, 주어진 정보와 질문의 모양을 바꾸었다.

수직선에서 어떤 수 t를 제곱한 값이 12.25가 되었다. 가능한 t를 모두 나타내어라.

학생은 먼저 문장을

t²=12.25

로 옮겼다. 12.25는 3.5²이므로 제곱근을 취할 때 한 방향만 고르지 않고

t=±√12.25=±3.5

라고 썼다. 이번에는 수직선에서 0을 기준으로 같은 거리에 있는 두 위치를 표시했다. 오른쪽 위치는 3.5, 왼쪽 위치는 -3.5였다. 질문이 ‘양의 값’을 묻는 것이 아니라 ‘가능한 t를 모두’ 묻고 있으므로 두 위치를 모두 남겨야 한다는 설명도 덧붙였다. 문제의 표현은 달라졌지만, 판단 기준은 여전히 t²=a에서 두 제곱근을 함께 찾는 것이었다.

일주일 뒤, 표시 없이 다시 확인한 풀이

며칠 뒤에는 풀이 옆에 ‘±를 쓰세요’라는 메모를 남기지 않고 새 문제를 제시했다.

어떤 수 y에 대하여 y²=0.04이다. y의 값을 모두 구하고, 각 값이 주어진 식을 만족하는지 설명하여라.

학생은 먼저 “제곱해서 0.04가 되는 수”라고 문제를 자기 말로 정리한 뒤,

y=±√0.04=±0.2

라고 적었다. 이어서

• 0.2²=0.04
• (-0.2)²=0.04

라고 각각 계산했다. “두 값 모두 제곱 결과가 0.04이고, 제곱근을 취했으므로 한 값만 고르면 안 된다”고 풀이 이유까지 설명했다. 도움이나 표시 없이도 먼저 ±를 선택했고, 마지막에는 두 해를 각각 원래 식에 대입해 검산했다.

이 장면에서 확인할 기준은 단순하다. x²=a에서 x를 찾을 때 제곱근의 양의 값만 적지 않고 ±√a를 기록한 뒤, 얻은 두 값을 각각 제곱해 a가 되는지 확인하는 것이다. 장덕동중3수학과외에서 이 기준을 여러 단원으로 넓히기보다, 같은 꼴의 식 안에서 스스로 재현하는지를 끝까지 확인한 이유도 여기에 있다.