임학동 중3수학과외

정답에서 거꾸로 찾은 삼각비의 첫 선택

임학동과외 수업에서 단원평가 풀이를 점검하던 중, 한 학생의 답안에 sin 30° = 8/10이라는 식이 적혀 있었습니다. 계산 자체는 단순했지만, 문제의 그림에서는 30°가 표시된 꼭짓점에 맞닿은 변이 8, 가장 긴 변이 10으로 나타나 있었습니다.

완성된 풀이에서 앞부분을 되짚다

문제는 다음과 같았습니다. 직각삼각형 ABC에서 ∠A=30°, ∠C=90°이고, 변 BC의 길이는 5cm, 변 AB의 길이는 10cm이다. sin A의 값을 구하시오.

학생의 답안: sin 30° = 8/10 = 4/5

답안의 8은 문제에 없는 수였고, 학생에게 풀이 과정을 다시 적게 하자 다음과 같은 표시가 나왔습니다.

∠A에 동그라미를 치기 전에 그림에서 길이 8처럼 보이는 변을 먼저 선택했다.
그 변을 ‘sin에 사용하는 변’이라고 생각하고, 긴 변 10을 분모에 놓았다.
그 뒤에야 30°를 확인하고 sin 30°를 8/10으로 적었다.

여기서 최종 계산 8/10을 먼저 고치면 안 됩니다. 결과가 틀어지기 전 최초 판단은 기준각 A를 확인하기 전에 변을 선택한 것입니다. sin은 기준각에 따라 대변과 빗변의 비로 읽어야 하므로, 기준각이 정해지기 전에는 어느 변을 분자로 쓸지 결정할 수 없습니다.

한 표시만 바꾸어 식을 다시 세우기

전체 풀이를 처음부터 지우지 않고, 오류가 시작된 행동만 바꾸었습니다. 먼저 ∠A에 색을 칠하고, 그 각과 마주 보는 변 BC를 대변으로 표시했습니다. 직각 C의 맞은편에 있는 AB는 빗변이므로 길이 10을 확인했습니다. 따라서 필요한 비는 BC/AB입니다.

sin A = 대변/빗변 = BC/AB = 5/10 = 1/2

이번 교정은 계산 방법을 새로 배우는 일이 아니라, 변을 고르기 전에 기준각을 표시하는 순서를 바로잡은 것입니다. 이미 알고 있던 5와 10의 나눗셈은 그대로 유지했고, 문제에 없는 8을 끌어들이지 않았습니다. 특히 sin의 분자는 항상 ‘현재 기준각과 마주 보는 변’인지 확인해야 합니다.

그림 대신 조건표로 바꾼 재적용

며칠 뒤에는 중간 풀이를 가린 새 문제를 제시했습니다. 직각삼각형 PQR에서 ∠Q=40°이고, PR=7cm, QR=9cm이다. sin Q의 값을 구하라는 문제였습니다. 이번에는 그림에 길이만 쓰지 않고 다음처럼 조건을 표로 정리했습니다.

기준각: ∠Q
∠Q와 마주 보는 변: PR=7cm
직각의 맞은편인 빗변: PR이 아니라, 직각이 P라면 QR이 빗변이라는 식으로 그림의 직각 위치를 먼저 확인

학생은 잠시 멈춘 뒤 “직각이 P이면 Q와 마주 보는 PR은 대변이고, 직각의 맞은편인 QR은 빗변”이라고 수정했습니다. 그러므로 sin Q=PR/QR=7/9로 적었습니다. 숫자만 바꾼 문제가 아니라, 조건표와 그림의 직각 위치를 함께 읽어 기준각에 따른 두 변을 선택하는 연습이었습니다.

힌트 없이 다시 세운 마지막 식

마지막에는 도움 없이 다음 문제를 풀게 했습니다. 직각삼각형 XYZ에서 ∠Y=35°, ∠Z=90°이고, XY=12cm이다. sin Y를 구하시오.

학생은 먼저 ∠Y를 네모로 표시한 뒤, “Y와 마주 보는 변 XZ가 대변이고, 직각 Z의 맞은편 XY가 빗변이다”라고 풀이에 적었습니다. 따라서

sin Y = XZ/XY

라고 썼습니다. 이 문제에서는 XZ의 길이가 제시되지 않았으므로 수치로 계산하지 않고, 구할 수 있는 비를 정확히 표현하는 데서 멈췄습니다. 이어 “기준각 Y를 바꾸지 않았고, 분자는 Y와 마주 보는 변, 분모는 직각의 맞은편 변이므로 sin의 정의에 맞다”고 설명했습니다. 마지막으로 XZ가 6cm라는 조건을 추가했을 때는 6/12=1/2로 계산하고, 원래 삼각형에서 대변과 빗변의 위치를 다시 대입해 같은 비가 되는지 확인했습니다. 임학동중3수학과외에서도 이처럼 정답보다 먼저 기준각을 표시하는 한 행동을 점검하면, 뒤 계산이 시작되기 전의 오류를 정확히 찾아낼 수 있습니다.

현재 학습에서 함께 살펴볼 범위

중등 수학

개념의 뜻, 식을 세우는 과정, 계산과 검산, 도형의 조건, 자료 해석을 현재 단원에 맞춰 확인합니다. 앞 학년 내용 때문에 막힌다면 필요한 개념만 연결해 복습하고 서술형의 풀이 근거도 점검합니다.

중3 점검 기준

누적된 어휘·개념의 빈틈과 현재 진도를 나누어 점검하고, 새로운 문제에서도 풀이 기준이 유지되는지 확인합니다.

수업 진행 예시

문장 조건을 식으로 옮기기

어떤 수의 두 배에 3을 더하면 15일 때 2x + 3 = 15로 나타낼 수 있습니다. x = 6을 구한 뒤 2 × 6 + 3 = 15인지 확인하며 식의 의미와 검산을 연결합니다.

괄호와 부호 확인하기

2a(3a − 2)는 6a² − 4a입니다. a = 1을 넣으면 원래 식과 전개한 식이 모두 2인지 비교할 수 있습니다. 이 단원을 배운 학생에게 적용하며 수치 확인만으로 일반적인 증명이 되는 것은 아닙니다.

위 내용은 지도 범위와 연습 방법을 설명하는 예시입니다. 학생이 이미 배운 내용과 현재 진도에 맞춰 적용하며, 모든 내용을 한 수업에서 진행하지 않습니다.

수업 진행 안내

상담 → 선생님 연결 → 첫 수업 → 정규 수업

학생의 학습 상황을 상담하고, 선생님과 수업 방식이 맞는지 확인한 뒤 시간·횟수·비용을 정합니다. 숙제 확인과 보호자 피드백은 학생별로 조율하며, 보강과 일정·선생님 변경이 가능합니다.

중등 과외 수업료

월 수업료 · 주 2회 기준
학교급	방문 수업	화상 수업
중등	29~44만 원	26~40만 원

회당 수업 시간에 따라 금액이 달라집니다. 주당 횟수와 회당 시간, 최종 월 수업료는 상담에서 정합니다.

주 1회부터 주 3회 이상까지 횟수를 조율할 수 있습니다. 같은 회당 시간으로 주 1회 진행할 경우, 위 주 2회 금액의 절반이 기준입니다.

수업 이용에 관한 자주 묻는 질문

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임학동 중3수학과외 수업 후기

시험 범위가 나온 날 저녁, 아이가 틀린 문제를 처음부터 다시 풀고 있을 거라 생각했는데 의외로 계산이 어긋난 두 줄만 한참 들여다보고 있더라고요. 문제 전체나 답지를 펼쳐 놓은 게 아니라, 숫자가 달라지기 시작한 부분을 찾아 연산 과정을 따라가고 있었습니다. 임학동 수학과외 이야기를 나누던 때에도 이런 장면이 꽤 인상적이었어요. 전에는 답이나 해설을 먼저 확인하고 자기 풀이를 다시 보는 경우가 많지 않았거든요. 그런데 그날에는 틀린 문제를 통째로 붙잡기보다 계산이 처음 흔들린 지점만 골라 살피고 있었어요. 그 뒤 다른 계산 문제를 풀 때도 결과가 이상하자 바로 그 줄부터 되짚었습니다. 그리고 나중에 다시 찾기 쉽도록 문제집에 위치를 따로 남겨 두더라고요. 답을 확인하기 전에 어느 계산에서 달라졌는지 먼저 보고 있었습니다.

★★★★★수업 후기

새 풀이 노트를 만든 날, 책상 위가 꽤 어수선했는데 아이가 방정식 문제를 풀고 난 뒤 한참 식을 들여다보더라고요. 답을 바로 적는 대신 구해 둔 값을 원래 식에 차례로 넣어 보고 있었습니다. 무엇을 남겨야 하는지 확인하는 모습이어서 저도 잠깐 손을 멈추고 봤어요. 전에는 틀린 까닭을 살피기보다 맞는 답을 외워두려는 쪽에 가까웠거든요. 그런데 이번에는 후보 해를 하나씩 대입하면서 실제로 식에 맞는 값인지 골라냈습니다. 임학동 수학과외 이야기를 나누던 때와는 별개로, 집에서 이런 장면을 보니 풀이를 끝낸 뒤에도 답을 그대로 믿지는 않는구나 싶었어요. 교과서를 다시 펼친 뒤에도 같은 문제가 나오자 아이는 먼저 후보 값을 원래 식에 넣어 확인했습니다. 그 다음 필요한 부분만 노트에 간단히 정리하고 연필을 내려놓았어요.

★★★★★수업 후기

새 계산 문제를 풀던 아이가 처음 어긋난 계산 줄부터 짚어가며 다시 확인하고 있더라고요. 마지막 부분만 대충 보는 게 아니라 어디서 계산이 달라졌는지 앞쪽부터 따라가는 모습이었어요. 금요일 밤, 공부를 마친 뒤 책상에 남은 문제를 우연히 봤는데 틀린 문제 전체를 펼쳐놓은 게 아니었어요. 계산이 어긋난 두 줄만 골라 눈을 맞추고 있었습니다. 임학동 수학과외 이야기를 나누며 자료를 정리하던 때와는 별개로, 집에서 보인 모습이라 더 눈에 띄었어요. 전에는 다시 볼 자료를 정해도 범위를 한 부분까지 줄이지 못했거든요. 이번에는 틀린 문제를 처음부터 다시 푸는 대신 계산이 흔들린 지점을 좁혀 보고, 그 자료를 다른 곳으로 옮기지 않고 원래 자리에 표시해 두더라고요.

★★★★★수업 후기

시험 직전 주말이면 조급해서 새 문제만 계속 풀었는데, 임학동 수학 과외를 받으며 선생님과 정한 복습 계획을 먼저 지키게 됐습니다. 학교에서 돌아와 가방을 내려놓으면 틀린 문제부터 다시 펼쳐 보고, 막히는 부분은 질문하기 편한 분위기에서 천천히 짚어 주셔서 공부 흐름도 한결 차분해졌습니다.

★★★★★수업 후기

선생님은 수업 초반마다 충분히 생각할 시간을 주고, 숙제를 끝낸 뒤에도 편하게 대화하며 막힌 부분을 다시 확인해 주셨습니다. 임학동에서 수학 과외를 시작했을 때는 계산이 조금만 복잡해져도 틀릴까 봐 손부터 놓곤 했습니다. 요즘은 수업 날을 부담스러워하지 않고 책상 정리와 복습도 전보다 차분히 합니다.

★★★★★수업 후기

선생님은 복습 시간을 따로 정해 숙제를 짧게 나누고, 학교 행사로 계획이 어긋난 날에는 무리하지 않고 다시 일정을 조정해 주셨습니다. 임학동에서 수학과외를 시작할 때만 해도 아이는 설명을 들으면 알겠다면서도 혼자 문제를 풀다 막히면 한 문제를 오래 붙들고 있었습니다. 요즘은 수업 내용을 제게 먼저 이야기하고, 밀린 공부도 스스로 이어가려는 모습이 보여 성적보다 반가웠습니다.

★★★★★수업 후기