임학동 고3수학과외

정답에서 거꾸로 찾은 정규분포 풀이의 첫 갈림길

임학동 생활권의 학습 상담에서 한 학생의 9월 모의평가 오답을 다시 펼쳤다.

문제는 다음과 같았다. 확률변수 X가 평균 70, 표준편차 10인 정규분포를 따를 때, P(60≤X≤80)을 구하는 상황이었다. 학생은 표준화까지는 정확히 하여

P(-1≤Z≤1)

을 적었고, 표에서 0.6826도 올바르게 찾았다. 그런데 해설과 답을 비교하자 학생은 이 값을 P(X≤80)에 해당하는 확률처럼 설명해 두었다. 계산 결과가 맞았다는 이유로 풀이 전체도 맞다고 판단한 것이 최초의 문제였다.

계산이 아니라 사건의 이름에서 멈추다

학생에게 답지의 마지막 줄부터 자신이 쓴 식까지 역순으로 읽게 했다. 먼저 0.6826이 어느 사건의 확률인지 묻고, 그다음 표준화식의 양끝값을 확인하게 했다. 그 과정에서 학생은 첫 번째로 판단이 달라진 줄에 표시했다. 바로 ‘구간 안에 들어갈 확률’을 ‘80 이하일 확률’로 바꿔 적은 부분이었다.

정규분포에서는 수치표를 찾기 전에 사건을 분리해야 한다. P(X≤80)은 평균보다 오른쪽 한 점까지의 누적확률이고, P(60≤X≤80)은 두 경계 사이의 확률이다. 따라서 전자는 P(Z≤1), 후자는 P(-1≤Z≤1)로 서로 다르다. 학생은 표를 잘못 읽은 것이 아니라, 확률조건과 사건 자체를 한 줄에 섞었던 것이다.

교정은 하나의 표시로 제한했다. 학생은 식을 쓰기 전에 문제의 사건 부분에 네모를 치고, 그 아래에 ‘왼쪽 누적’인지 ‘두 경계 사이’인지 짧게 적었다. 이어 경계값 60과 80을 각각 평균에서 얼마나 떨어졌는지 계산하여 -1과 1을 별도 칸에 놓았다. 이미 맞게 계산한 표준화식을 다시 처음부터 풀게 하지 않고, 최초 오류가 난 사건 해석만 고쳤다.

기준점을 되돌린 뒤 확률을 다시 읽기

변형 문제에서는 평균과 표준편차를 먼저 제시하지 않았다. 대신 P(X≤90)=0.9772, P(X≤70)=0.5라는 두 조건을 주고, P(70≤X≤90)을 구하게 했다. 학생은 처음에 0.9772를 그대로 답으로 옮기려다가, 문제에서 요구한 사건이 구간이라는 사실을 표시하며 멈췄다.

평균이 70이므로 70은 표준화했을 때 0이고, 90은 표준화했을 때 2이다. 그러므로

P(70≤X≤90)=P(Z≤2)-P(Z≤0)=0.9772-0.5=0.4772

가 된다. 제시 순서가 ‘구간 확률, 평균, 누적확률’처럼 뒤섞여 있었지만, 학생은 사용한 조건과 사용하지 않은 정보를 따로 표시했다. 표준편차를 구하는 조건이 없는 상황에서 억지로 값을 만들지 않고, 이 문제에는 표준편차 자체가 필요하지 않다고 설명한 점도 확인했다.

힌트 없는 재풀이에서 남은 판단

다음 날에는 유형명과 풀이 흔적을 가린 채 새로운 문항을 제시했다. 확률변수 Y가 평균 50인 정규분포를 따르고, P(Y≤62)=0.8413일 때 P(38≤Y≤62)를 구하는 문제였다. 학생은 먼저 62가 평균에서 오른쪽 한 표준편차 지점임을 읽고, 대칭성에 따라 38은 왼쪽 한 표준편차 지점이라고 설명했다.

따라서 구하려는 사건은 -1≤Z≤1이고 확률은 0.6826이다. 학생은 0.8413을 답으로 쓰지 않은 이유도 “그 값은 62 이하라는 한쪽 누적사건이고, 지금은 38과 62 사이의 확률을 묻기 때문”이라고 밝혔다.

마지막 검증에서는 조건 하나를 가린 뒤에도 같은 판단이 유지되는지 살폈다. 표준편차 수치가 없어도 두 경계가 평균을 중심으로 대칭인지 먼저 확인했고, 사용하지 않은 조건에는 표시를 남겼다. 결론을 맞힌 것보다, 답지에서 역으로 올라가 사건과 확률조건이 처음 갈라진 줄을 찾아내고 새 문제에서도 그 줄을 먼저 점검한 점이 변화였다. 임학동과외 학습에서도 정규분포 오답은 계산 결과보다 ‘어떤 사건의 확률인가’를 끝까지 분리해 기록하는 방식으로 추적할 수 있다.