임학동 고2수학과외







검산에서 드러난 한 줄의 오류
학생은 성공확률이 p인 시행을 반복한 성공횟수 X에 대해 평균이 6, 분산이 1.5라는 조건을 보고 다음과 같이 적었다.
잘못된 풀이: E(X)=np=6, Var(X)=np=1.5
첫 번째 식에서 np=6이므로 두 번째 식과 모순된다. 이항분포에서는 성공과 실패가 함께 변동하므로 분산에 실패확률을 나타내는 인자가 반드시 들어간다.
문제의 조건 다시 세우기
독립적인 베르누이 시행을 n회 반복하고, 각 시행의 성공확률을 p라 하자. 실패확률은
q=1-p
이다. 따라서 성공횟수 X는 X~B(n,p)를 따르며
E(X)=np, Var(X)=npq
가 성립한다.
평균과 분산으로 n, p 결정하기
분산이 평균보다 작다는 점부터 확인
이항분포에서 Var(X)=npq이고 q는 0과 1 사이이므로, 0<p<1일 때 분산은 평균 np보다 작다. 실제 조건도 1.5<6이므로 이항분포의 형태와 맞는다.
연립 계산
평균 조건에서
np=6
분산 조건에서
npq=1.5
두 식을 나누면
q=1.5÷6=0.25
따라서
p=1-q=0.75
이제 np=6에 대입하면
n×0.75=6 → n=8
최종 확인
n=8, p=0.75, q=0.25일 때
평균은 np=8×0.75=6
분산은 npq=8×0.75×0.25=1.5
주어진 조건과 모두 일치한다. 따라서 정답은 n=8, p=0.75이다.
이처럼 임학동과외에서 이항분포를 점검할 때는 평균만으로 후보를 정하지 말고, 분산에 실패확률 q가 포함되는지 먼저 확인해야 한다. 서운고등학교나 계산고등학교 주변에서 같은 유형을 풀 때도 “분산이 np보다 작아야 한다”는 검산 기준이 유용하다.