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임학동 고2수학과외

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검산에서 드러난 한 줄의 오류

학생은 성공확률이 p인 시행을 반복한 성공횟수 X에 대해 평균이 6, 분산이 1.5라는 조건을 보고 다음과 같이 적었다.

잘못된 풀이: E(X)=np=6, Var(X)=np=1.5

첫 번째 식에서 np=6이므로 두 번째 식과 모순된다. 이항분포에서는 성공과 실패가 함께 변동하므로 분산에 실패확률을 나타내는 인자가 반드시 들어간다.

문제의 조건 다시 세우기

독립적인 베르누이 시행을 n회 반복하고, 각 시행의 성공확률을 p라 하자. 실패확률은

q=1-p

이다. 따라서 성공횟수 X는 X~B(n,p)를 따르며

E(X)=np, Var(X)=npq

가 성립한다.

평균과 분산으로 n, p 결정하기

분산이 평균보다 작다는 점부터 확인

이항분포에서 Var(X)=npq이고 q는 0과 1 사이이므로, 0<p<1일 때 분산은 평균 np보다 작다. 실제 조건도 1.5<6이므로 이항분포의 형태와 맞는다.

연립 계산

평균 조건에서

np=6

분산 조건에서

npq=1.5

두 식을 나누면

q=1.5÷6=0.25

따라서

p=1-q=0.75

이제 np=6에 대입하면

n×0.75=6 → n=8

최종 확인

n=8, p=0.75, q=0.25일 때

평균은 np=8×0.75=6

분산은 npq=8×0.75×0.25=1.5

주어진 조건과 모두 일치한다. 따라서 정답은 n=8, p=0.75이다.

이처럼 임학동과외에서 이항분포를 점검할 때는 평균만으로 후보를 정하지 말고, 분산에 실패확률 q가 포함되는지 먼저 확인해야 한다. 서운고등학교나 계산고등학교 주변에서 같은 유형을 풀 때도 “분산이 np보다 작아야 한다”는 검산 기준이 유용하다.

임학동 고2수학과외 학부모 후기

저녁을 먹고 아이 방에 들어갔더니 문제집을 펼쳐 놓고 있더라고요. 틀린 문제를 처음부터 전부 다시 푸는 줄 알았는데, 계산이 어긋난 두 줄에만 시선이 머물러 있었어요. 답지를 바로 찾지 않고 그 부분을 한참 들여다보는 모습이 조금 새롭게 보이더라고요. 임학동 수학과외 이야기를 나누던 때에도 이런 장면이 있었는데, 예전에는 다시 확인하라고 하면 어디부터 봐야 할지 몰라 문제 전체를 뒤적이곤 했거든요. 이번에는 계산이 처음 틀어진 지점을 골라 순서대로 살피고 있었습니다. 수학 노트를 정리하는 과정에서도 같은 식으로 계산이 어긋난 줄부터 확인했어요. 끝까지 풀리지 않은 곳은 그냥 넘기지 않고 옆에 표시를 해 두었고, 노트에는 확인한 흔적과 남겨 둔 부분이 나뉘어 있었습니다.

★★★★★학부모 후기

주말 늦은 오후에 다음 일정을 정리하다가 아이 문제집을 보게 됐어요. 그래프 문제 옆에 교점 위치만 따로 표시해 둔 흔적이 있더라고요. 그냥 답을 적은 게 아니라, 그래프에서 어디에 놓이는지 살펴본 것 같아 눈길이 갔습니다. 예전에는 계산 결과가 틀리면 앞부분부터 전부 지우고 다시 풀곤 했거든요. 그런데 이번에는 계산해서 얻은 교점을 그래프 위에 옮겨 놓고, 식에서 나온 결과와 실제 위치가 맞는지 대조하고 있더라고요. 임학동 수학과외 이야기를 나누던 중에도 이런 변화가 가장 구체적으로 보였던 장면이라고 말하게 됐습니다. 교과서를 다시 펼쳐 본 밤에도 같은 방식으로 확인했어요. 계산한 값을 그래프에 찍어 본 뒤 위치를 한 번 더 살피고, 그 표시를 지우지 않은 채 복습을 마쳤습니다.

★★★★★학부모 후기

방학 계획을 세우며 임학동에서 수학 과외를 시작했지만, 처음에는 답지를 먼저 찾고 기분에 따라 공부하곤 했습니다. 선생님은 수업 전 복습 내용을 편하게 물어보고, 시간 제한 없이 스스로 풀어볼 여유를 주셨습니다. 요즘은 시험 결과만 보기보다 공부 과정을 돌아보며 준비하는 모습이 보여 부모로서 반갑습니다.

★★★★★학부모 후기

학교 과제와 과외 숙제가 겹친 날에도 아이가 예전처럼 완벽하게 하려다 멈추지 않고, 모르는 부분을 먼저 물어보는 모습이 눈에 띄었습니다. 임학동에서 만난 선생님은 어려운 문제를 무리하게 넘기지 않고 그 자리에서 다시 설명하며 숙제와 복습을 차분히 챙겨 주셨습니다. 시험기간에는 틀린 문제를 다시 펼쳐보는 것부터 달라져 성적보다 반가운 변화를 느꼈습니다.

★★★★★학부모 후기

임학동에서 수학 과외를 알아본 뒤 시작했는데, 평일 저녁 아이가 선생님과 편하게 이야기를 나누며 막혔던 문제를 먼저 골라 질문하는 모습이 기억에 남았습니다. 예전에는 계산이 조금만 복잡해도 금방 지쳤지만, 선생님이 숙제를 무리하지 않을 만큼 나누고 스스로 해볼 시간을 주셔서 부담이 줄었습니다. 숙제가 밀린 날에도 포기하지 않고 할 수 있는 것부터 시작하는 모습이 반갑게 느껴졌습니다.

★★★★★학부모 후기