효자동 전주대학교사범대학부설고등학교 고2수학과외

전주대학교사범대학부설고등학교 고2수학과외, 약분 뒤에도 극한값을 비교해 본 풀이 기록

효자동 생활권에서 진행한 전주대학교사범대학부설고등학교 고2수학과외 수업에서 학생은 식의 겉모양만으로는 다음 풀이를 정하기 어려운 극한 문항을 만났다. 원래 식에 경계값을 넣으면 분자와 분모가 함께 0이 되는 형태였고, 문제에는 이를 인수분해하거나 유리화한 식이 함께 제시되어 있었다. 두 식은 모양도 다르고 계산 과정도 달라 보여 어느 쪽을 기준으로 극한을 판단해야 하는지가 관건이었다.

학생은 여러 조건을 전부 옮겨 적지 않았다. 문제에서 원래 식이 0/0 꼴이 되는지, 변형된 식이 어떤 과정으로 만들어졌는지, 두 표현을 같은 위치에서 비교할 수 있는지를 짧은 체크 항목으로 추렸다. 이 목록을 옆에 두고 원래 식과 인수분해·약분한 식을 나란히 배치했다. 식을 한 줄로 이어 계산하기보다 두 표현의 대응 관계를 먼저 확인하려 한 것이다.

나란히 놓았지만 대응 위치가 어긋난 순간

첫 답안에서는 원래 식에서 확인한 값과 변형된 식에서 확인한 조건을 서로 다른 위치에 연결했다. 원래 식의 분자와 변형된 식의 분모처럼 직접 대응하지 않는 부분을 같은 역할로 놓고 비교하면서, 약분한 뒤의 식이 원래 식과 같은 극한값을 갖는다는 판단이 흐려졌다. 0/0 꼴을 처리해야 한다는 방향 자체는 잡았지만, 두 표현을 비교할 때 어느 항과 어느 조건을 연결해야 하는지에서 답안이 어긋났다.

학생은 첫 결과를 다시 펼쳐 놓고, 경계값을 원래 식에 바로 대입한 줄을 지웠다. 그 줄을 남겨 둔 채 변형된 식과 비교하면 같은 오류가 반복될 수 있다고 보았기 때문이다. 이후 인수분해 또는 유리화로 0/0 구조를 먼저 없애고, 변형된 식에서 남은 요소들이 원래 식의 어떤 부분에서 나온 것인지 나란히 맞추었다. 약분된 표현을 별개의 식으로 취급하지 않고, 원래 식을 조건이 유지되는 범위에서 바꿔 쓴 결과로 다시 정리했다.

그 뒤 극한을 다시 계산할 때에는 대응하지 않는 값이나 조건을 억지로 연결하지 않았다. 원래 식의 구조와 변형된 식의 구조를 같은 순서로 살핀 다음, 0/0이 사라진 표현에 경계값을 적용했다. 이 과정에서 학생의 답안은 ‘바로 대입한 결과’와 ‘변형 후 계산한 결과’를 섞지 않고, 왜 변형된 식을 사용할 수 있는지 확인한 뒤 계산하는 흐름으로 바뀌었다.

표현 순서가 달라진 문항에서의 적용

이후에는 조건을 제시하는 순서와 수식의 배치가 달라진 새 문항을 독립적으로 풀었다. 이번에는 원래 식이 먼저 눈에 들어오지 않았고, 변형된 표현과 경계 조건이 다른 순서로 제시되어 있었다. 학생은 앞서 적어 둔 답이나 표시를 보지 않고, 경계값에서 0/0 꼴이 생기는지부터 확인했다. 이어 변형된 식이 인수분해나 유리화로 원래 구조를 바꾼 것인지 살피고, 서로 대응하는 항과 조건을 같은 위치에 놓았다.

문항의 표현은 달라졌지만 학생은 모양이 비슷한 항을 곧바로 연결하지 않았다. 변형 전후에 남아 있는 구조를 확인한 뒤 0/0을 없애는 과정을 거쳤고, 약분된 식을 이용해 극한을 계산했다. 이번 풀이에서는 앞선 답안에서 보였던 대응 위치의 혼동 없이, 어떤 식이 원래 표현에서 비롯되었는지를 먼저 확인한 뒤 계산 단계로 넘어갔다.

마지막에는 독립 풀이에서 얻은 결과를 그대로 받아들이지 않고 변형된 식에 경계값을 다시 넣었다. 0/0 구조가 제거된 뒤 유한한 극한값이 나오는지 확인하고, 그 값이 앞서 계산한 결과와 일치하는지 비교했다. 원래 식에 바로 대입한 값이 아니라 변형 과정을 거친 식에서 같은 결과가 재확인되었기 때문에, 두 표현을 같은 극한값으로 다룬 근거가 답안 안에서 이어졌다. 전주대학교사범대학부설고등학교 고2수학과외 수업은 이 재대입 확인으로 마무리되었다.