인천서구 대인고등학교 수학과외







끝항만 맞추고 중간 적분식을 놓친 순간
대인고등학교 학생은 시험지에서 다항식과 삼각함수가 곱해진 적분을 만났을 때 먼저 요구되는 값을 네모로 표시했다. 이후 다항식의 차수가 적분을 반복할수록 낮아진다는 점을 이용해, 해당 값까지 이어지는 식의 흐름을 찾으며 선택지를 몇 개로 좁혔다. 인천서구에서 이동해 수업에 참여하는 날에도 풀이의 출발은 빨랐지만, 마지막 결론을 적는 단계에서는 반복 부분적분이 실제로 성립하는지 확인하는 과정이 비어 있었다.
후보를 골랐지만 미분 검산을 생략한 결론
예를 들어 ∫x sin x dx를 부분적분하면
∫x sin x dx = -x cos x + ∫cos x dx = -x cos x + sin x + C
가 된다. 학생은 이처럼 다항식 인수를 미분하고 삼각함수 인수를 적분하는 순서를 찾아 답 후보를 줄이는 데는 성공했다. 그러나 선택지 중 반복 부분적분의 결과처럼 보이는 식을 찾은 뒤, 그 식을 다시 미분했을 때 원래의 integrand가 나오는지 확인하지 않아 틀린 후보를 정답으로 확정했다.
수업에서는 오답을 단순히 지우지 않고, 후보가 허용되지 않는 이유를 반례로 드러냈다. -x cos x - sin x를 정답 후보라고 가정하면 미분 결과는 -cos x + x sin x - cos x가 되어 원래의 x sin x와 다르다. 반복 부분적분의 중간식 하나가 잘못되면 마지막 항이 맞아 보여도 전체 결과는 성립하지 않는다는 점을 직접 확인한 것이다.
반복 부분적분에서는 마지막 항만 비교하지 않고, 각 중간식이 미분을 거쳐 원래 식으로 돌아오는지 확인해야 한다.
후보를 없앤 뒤 스스로 계산 순서를 정한 적용
다음 문제에서는 익숙한 정답 선택지를 제공하지 않고, 다항식의 차수가 더 높은 곱을 제시했다. 학생은 먼저 다항식 부분을 미분할 자리와 삼각함수 부분을 적분할 자리를 표시한 뒤, 한 번의 부분적분 결과를 줄마다 기록했다. 이어 다항식 차수가 하나씩 낮아지는지, 마지막 삼각함수 적분의 부호가 앞선 항과 맞는지 확인하며 계산을 진행했다.
이번에는 후보를 고르는 데 의존하지 않고 계산식과 조건을 모두 확인한 뒤 답을 구성했다. 마지막에는 완성한 식을 미분해 원래의 다항식·삼각함수 곱이 되는지 검산했고, 중간에 나타난 항들이 서로 소거되는 과정을 설명했다. 특히 각 중간값이 다음 부분적분의 출발점이 된다는 점을 말로 짚어 보면서, 반복 절차를 끝항 암기가 아닌 연결된 계산으로 판단할 수 있는지 확인했다.