인천서구 대인고등학교 고2수학과외
대인고등학교 고2수학과외, 증가·감소의 흔적에서 원래 조건을 좁혀 간 기록
인천서구 대인고등학교 학생과 함수의 증가·감소표, 극대·극소 결과가 함께 제시된 문항을 살펴보았다. 문제에는 같은 내용을 직접 말하지 않고 서로 다른 표현으로 나누어 제시한 조건들이 섞여 있었다. 표의 결과만 보고도 처음 주어진 조건의 후보를 추적해야 했기 때문에, 어느 정보를 출발점으로 삼고 어떤 순서로 거꾸로 연결할지가 답을 가르는 상황이었다.
학생은 선택지를 확인하기 전에 풀이 기준을 한 줄로 메모했다. 증가·감소표와 극대·극소의 결과에서 출발해 가능한 원래 조건 후보를 여러 경우로 좁힌다는 내용이었다. 이어 실제로 비교할 두 정보를 좌우에 나란히 적었다. 한쪽에는 증가와 감소가 바뀌는 지점을, 다른 쪽에는 극대와 극소가 나타난 위치를 놓고 서로 대응시키려 했다.
처음 작성한 후보에는 출발 조건 하나가 빠져 있었다. 학생은 표의 최종 결과에서 거꾸로 읽으면서 바로 앞 단계의 조건을 확인하지 않고, 그다음에 연결되는 조건부터 남겼다. 그래서 표와 극대·극소의 위치가 일부 맞아 보였지만, 시작점에서 가능한 조건이 실제보다 넓게 남았다. 계산을 틀린 것이 아니라 역으로 추적하는 중간 연결을 한 번 건너뛴 것이었다.
빠진 연결을 다시 표시한 순간
학생은 어긋난 줄에서 멈춰 증가·감소표의 최종 결과를 기준으로 한 단계씩 거꾸로 이어 갔다. 표에서 확인한 변화와 극대·극소의 결과를 바로 원래 조건에 연결하지 않고, 그 사이에 놓인 조건을 다시 적었다. 빠졌던 앞 조건을 넣자 일부 후보는 더 이상 두 결과를 동시에 설명하지 못했고, 남겨야 할 시작 조건의 범위가 좁아졌다.
이후 같은 판단이 필요한 새 문항에서는 출발점이 표가 아니라 그래프와 합의 결과로 제시되었다. 표현 방식과 조건의 배열이 달랐지만 학생은 앞선 답을 참고하지 않고, 그래프에서 극대·극소의 위치를 확인한 뒤 그에 대응하는 증가·감소의 변화를 직접 골랐다. 이어 필요한 조건을 한 단계씩 되짚어 가능한 원래 조건을 추렸다. 이번에는 처음부터 중간 연결을 표시해 후보를 남겼다.
새 문항의 계산을 끝낸 뒤에는 얻은 값을 그대로 두지 않았다. 증가·감소표에서 부호가 바뀌는 위치와 함수 그래프에서 극대·극소가 나타나는 위치를 다시 대응했다. 두 결과가 같은 조건을 가리키는지 확인하자, 그래프에서 읽은 판단과 표에서 역으로 좁힌 후보가 일치했다.
대인고등학교 고2수학과외 수업에서 남은 것은 복잡한 계산법이 아니라 결과에서 원래 조건으로 돌아갈 때의 연결 순서였다. 학생의 풀이에는 최종 결과를 확인한 뒤 한 단계씩 앞 조건을 복원하는 표시가 남았고, 마지막 검산에서도 증가·감소의 부호 변화와 극대·극소의 위치가 같은 후보를 가리켰다.