인천중구 제물포고등학교 수학과외
부호표를 생략하자 증가 구간의 근거가 사라졌다
제물포고등학교 학생과 문자와 수치가 함께 들어간 함수 문제를 살펴보던 중, 학생은 먼저 임의의 값을 대입하지 않고 관계식을 세웠다. 함수의 도함수 부호가 어느 구간에서 어떻게 바뀌는지 확인한 뒤 원래 함수의 증가와 감소를 판단하려는 접근이었다.
계산은 맞았지만 중간 판단이 비어 있던 풀이
학생은 문제에서 요구한 값까지는 도달했지만, “이 구간에서 f'(x)>0이므로 f가 증가한다”는 핵심 연결을 설명하지 않았다. 특히 도함수의 부호를 판단하기 전에 해당 구간이 실제 조건을 만족하는지 확인하지 않아, 계산 결과만으로 증가·감소를 정한 상태였다.
예를 들어 어떤 구간에서 f'(x)=(x-2)(x+1)이라면 근 -1, 2를 기준으로 구간을 나누어야 한다. x<-1과 x>2에서는 도함수가 양수이고, -1<x<2에서는 음수이므로 함수의 증가·감소도 이 부호표에 맞춰 판단해야 한다.
대입값 대신 구간별 부호 변화로 다시 확인한 과정
이번에는 처음 풀이에서 사용한 임의의 수 대입 방식을 금지했다. 학생은 먼저 도함수가 0이 되는 지점을 찾고, 그 점들이 문제의 정의된 범위 안에 있는지 확인했다. 그런 다음 각 구간에서 인수의 부호만 따져 부호표를 만들었다. 이 과정에서 도함수가 양수라는 사실과 함수가 증가한다는 결론 사이의 조건을 문장으로 연결하게 했다.
도함수의 부호는 계산 결과가 아니라, 해당 구간 전체에서 함수의 증가·감소를 판단하는 근거가 된다.
선택지 없는 새 조건에서 스스로 세운 판단 순서
이후에는 앞의 수치와 다른 도함수와 범위가 제시된 문항을 풀었다. 학생은 먼저 도함수의 영점을 구하고, 주어진 정의역에 포함되는지 확인한 뒤, 남은 구간을 나누어 부호를 판정했다. 선택지에 기대지 않고 증가 구간과 감소 구간을 직접 적은 뒤 최종 답을 구성했다.
마지막에는 각 구간의 대표적인 부호를 다시 대입해 자신이 만든 부호표와 일치하는지 점검했다. 또한 도함수의 영점 하나를 조건에서 제외했을 때 증가·감소 구간이 어떻게 달라지는지도 비교했다. 이를 통해 최종 답에 조건을 벗어난 반례가 남지 않는지 스스로 확인했다.