부산 혜광고등학교 수학과외
n의 계수를 공차로 읽은 뒤에도 남아 있던 한 가지 함정
혜광고등학교 학생은 등차수열의 일반항에서 n의 계수와 공차가 연결되는지를 묻는 문항을 풀며, 경계가 되는 값을 직접 대입해 결과를 비교하고 있었다. 예를 들어 일반항이 an=3n-5라면 연속한 항의 차는 3이므로 공차도 3이라는 점을 계산으로 확인했다.
문제는 선택지 중 맞아 보이는 설명을 고르는 단계에서 나타났다. 학생은 n의 계수가 공차와 같다는 후보를 찾은 뒤, 특정 값 하나에서만 성립하는지를 확인하지 않고 정답으로 확정했다. 실제로는 한 사례가 맞는 것과 모든 자연수 n에서 등차수열의 관계가 성립하는 것은 다르다.
한 항의 값이 아니라 일반항의 구조를 확인한 과정
교정에서는 경계값을 먼저 넣어 비교하던 방식을 사용하지 못하게 하고, 식을 항의 차로 바꾸어 검산하게 했다. 일반항을
an=dn+(a1-d)
와 같이 정리하면,
an+1-an=d
가 된다. 따라서 n의 계수가 d라는 사실은 단순히 어느 한 항의 계산 결과가 아니라, 연속한 두 항의 차가 일정하다는 조건에서 확인된다. 학생은 이 경로를 통해 선택지의 문장이 모든 n에 대해 성립하는지, 특정 값에서만 우연히 맞는지를 구분했다.
등차수열의 일반항에서 n의 계수는 연속한 항의 차를 결정하므로 공차와 같다.
정답 후보를 제거한 뒤 스스로 정한 검산 순서
새 문항에서는 앞서 보았던 선택지나 경계값 대입에 의존하지 않고, 학생이 직접 풀이 순서를 정했다. 먼저 일반항을 n에 대한 식으로 정리하고, n의 계수를 확인한 다음, 첫째 항과 둘째 항을 계산해 두 항의 차가 같은지 점검했다.
예를 들어 an=-2n+7이라면 a1=5, a2=3이므로 공차는 -2이다. n의 계수 역시 -2이므로 두 확인 결과가 일치한다. 학생은 이처럼 계수 확인과 항의 차 계산을 서로 다른 경로로 사용해 정답 후보가 없는 문항에서도 답을 구성했다.
부호와 범위를 끝까지 확인한 장면
마지막에는 공차의 부호를 빠뜨리지 않았는지, n이 자연수라는 조건에서 일반항을 해석했는지 점검했다. 특히 2n-1에서 공차를 1로 잘못 읽지 않고, n의 계수 전체인 2가 공차라는 점을 확인했다. 이후 학생은 답의 범위와 조건을 다시 살펴보며, 한 값에서 맞는 설명이 아니라 등차수열 전체에 적용되는 관계인지 최종적으로 판정했다.