부산 남성여자고등학교 수학과외
정의역과 치역을 거꾸로 연결해 본 서술형 풀이
부산 남성여자고등학교 학생과 서술형 문제를 풀던 중, 지수함수와 로그함수의 범위를 단순히 외운 문장으로 적는 데서 막힘이 나타났다. 문제에는 밑의 조건과 함수 사이의 관계가 문장 속에 흩어져 있었고, 학생은 먼저 이를 식으로 바꾼 뒤 범위와 관련된 단서에 표시했다.
조건을 표시했지만 설명이 흐려진 지점
학생은 지수함수의 밑을 \(a\)라고 두고 \(y=a^x\)로 정리했다. \(a>0,\ a\ne1\)이라는 조건을 찾아낸 뒤에도 “입력값은 모두 가능하고 출력값은 양수”라는 설명이 왜 성립하는지 문장으로 연결할 때 표현이 모호했다. 특히 계산 결과만 적고, 그 결과가 밑의 조건에 의존한다는 점을 빠뜨리려 했다.
지수함수 \(y=a^x\)에서 \(a>0,\ a\ne1\)이면 정의역은 실수 전체이고 치역은 양의 실수 전체이다. 이에 대응하는 로그함수 \(y=\log_a x\)의 정의역은 양의 실수 전체, 치역은 실수 전체이다.
값의 범위 대신 역관계로 확인한 과정
이번에는 앞서 사용한 식의 값들을 나열하는 방법을 쓰지 않고, 두 함수가 서로 역함수라는 점으로 검산했다. \(y=a^x\)에서 \(x\)와 \(y\)를 바꾸면 \(x=a^y\)이고, 이를 로그식으로 바꾸면 \(y=\log_a x\)가 된다. 따라서 지수함수의 출력인 \(a^x\)는 항상 양수여야 로그의 입력이 될 수 있으며, 지수함수의 입력 \(x\)가 모든 실수이므로 로그함수의 출력도 모든 실수가 된다고 정리했다.
이렇게 확인하자 학생은 ‘지수함수의 정의역과 로그함수의 치역이 실수 전체로 연결된다’는 사실을 결과만 암기하지 않고, 역함수 관계에서 직접 설명할 수 있었다.
표현을 바꾼 관계식에 적용하기
이후에는 앞의 식을 그대로 복사하지 않고 \(x=2^y\)라는 새로운 관계식을 제시했다. 학생은 \(2^y\)가 양수이므로 \(x>0\)이어야 한다고 판단하고, \(y=\log_2x\)로 바꾸어 로그함수의 정의역과 치역을 독립적으로 구성했다. 밑의 조건은 유지하되 식의 배치와 문장을 바꾼 상황에서도 같은 연결을 찾아낸 것이다.
마지막으로 밑이 \(1\)인 \(y=1^x\)는 모든 입력에서 값이 1로 같아 로그함수의 역관계를 만들 수 없고, 밑이 0 이하이면 실수 범위의 지수함수 조건을 만족하지 않는다는 점을 구별하게 했다. 학생은 적용되지 않는 경우까지 함께 판정하면서, 범위의 결론이 단순한 공식이 아니라 밑의 조건과 역함수 관계에서 나온다는 것을 확인했다.