청주송정동 중1수학과외

구간의 경계에서 시작된 자료 해석

청주송정동과외 수업에서 단원평가 직전 자료 해석 문제를 풀던 학생은 표와 그래프를 오가며 자꾸 같은 곳에서 멈췄다.

통학 시간(분)	학생 수
10 이상 20 미만	4
20 이상 30 미만	7
30 이상 40 미만	5

문제는 “30분 통학한 학생은 어느 구간에 포함되는가?”와 “전체 학생 수는 몇 명인가?”였다. 학생은 표의 두 번째 줄에 30을 동그라미 치고 “20 이상 30 이하”라고 적은 뒤, 30분인 학생을 두 번째 구간의 도수에 더하려 했다. 이어 도수 4, 8, 5를 더해 전체를 17명이라고 썼다.

틀린 답보다 먼저 확인한 한 줄

계산 자체보다 앞선 판단에서 경계 조건이 바뀌었다. 표에는 ‘20 이상 30 미만’이라고 되어 있는데, 학생은 문제를 읽는 순간 이를 ‘20 이상 30 이하’로 바꾸어 버렸다. 구간의 끝값을 포함하는지 확인하지 않고 이전에 풀었던 비슷한 표의 규칙을 그대로 적용한 것이다.

구간은 숫자 두 개만 보는 것이 아니라, 각 끝값에 ‘이상’ 또는 ‘미만’이 붙었는지 함께 읽어야 한다.

교사는 표의 30에 세로선을 긋고, “30 미만”은 30을 포함하지 않는다고 표시하게 했다. 그런 다음 30은 세 번째 줄의 ‘30 이상 40 미만’에 들어간다고 말로 설명하게 했다. 이미 맞게 읽은 10 이상 20 미만과 20 이상 30 미만은 그대로 두고, 경계값 30의 위치만 다시 정리했다. 도수의 합도 새로 임의로 더하지 않고, 각 구간에 실제로 기록된 도수 4, 7, 5를 그대로 더해 16명임을 확인했다.

표를 그래프로 바꾸며 질문을 바꾸다

같은 자료를 이번에는 히스토그램으로 나타내게 했다. 가로축에는 통학 시간 구간을 순서대로 쓰고, 세로축에는 도수를 표시했다. 첫 막대의 높이는 4, 두 번째는 7, 세 번째는 5로 그렸다. 학생은 처음에 가로축 눈금 30을 두 번째 막대의 오른쪽 끝으로 표시했지만, ‘30 이상’이라는 조건을 다시 읽고 세 번째 막대의 왼쪽 경계로 옮겼다.

질문도 바꾸었다. “30분인 학생은 몇 번째 구간인가?” 대신 “두 번째 구간에 속하는 통학 시간의 조건을 문장으로 써 보라”고 하자 학생은 “20분 이상이고 30분 미만”이라고 적었다. 이어 “각 구간의 학생 수를 더하지 않고 그래프만 보아 전체 학생 수를 설명하라”는 질문에는 막대 높이를 차례로 읽어 4+7+5=16이라고 답했다. 숫자만 바꾼 문제가 아니라, 표의 조건을 문장과 히스토그램의 위치로 연결한 것이다.

다각형 자료에서 다시 확인한 경계

다음 자료는 같은 구간과 도수를 꺾은선 모양의 도수분포다. 학생은 각 구간의 도수를 점으로 표시하고 선분으로 연결했다. 20 이상 30 미만 구간의 점은 높이 7, 30 이상 40 미만 구간의 점은 높이 5로 두었다. 이때 점의 가로 위치를 30이라는 값 자체로 옮기지 않고, 해당 구간을 대표하는 표시 위치에 대응시켜야 한다는 점을 확인했다.

• 변량: 통학 시간처럼 조사한 자료의 값
• 구간: 변량을 일정한 범위로 나눈 것
• 도수: 각 구간에 들어 있는 자료의 개수
• 전체 자료 수: 모든 도수를 더한 값

학생은 표에서 구간과 도수를 구별하고, 히스토그램에서는 막대의 경계와 높이를 구별했다. 특히 ‘미만’과 ‘이상’이 만나는 지점에서는 두 구간에 같은 값을 넣지 않는다는 조건을 표 옆에 직접 적었다. 청주송정동중1수학과외 학습에서 이 한 줄을 기준으로 삼자, 표를 도수다각형으로 바꾸어도 어느 도수가 어느 구간에 대응하는지 흔들리지 않았다.

힌트 없이 다시 세운 풀이

수업 끝에 처음 보지 못한 자료를 제시했다.

독서 시간(분)	도수
0 이상 10 미만	3
10 이상 20 미만	6
20 이상 30 미만	4

“20분인 자료는 어디에 들어가며 전체 자료 수는 얼마인가?”라는 질문에 학생은 먼저 각 구간의 조건을 읽었다. “20분은 20 이상이므로 세 번째 구간이고, 30 미만이므로 세 번째 구간 안에 있다.”라고 적었다. 이어 도수의 합을 3+6+4=13으로 계산했다. 마지막으로 20을 두 번째 구간에 넣으면 ‘20 미만’에 어긋나고, 세 번째 구간에 넣으면 ‘20 이상’에 맞는다고 원래 조건에 대입해 확인했다.

학생은 정답만 말하지 않고, 구간의 경계 조건을 먼저 읽은 이유와 도수의 합이 전체 자료 수가 되는 근거까지 스스로 설명했다. 표, 히스토그램, 도수다각형의 표현이 달라져도 구간·도수·전체량의 대응과 경계 조건을 다시 세우는 풀이를 혼자 재현한 장면이었다.