청주송정동 고2수학과외







일반항을 맞혔다고 생각한 순간
학생은 수열 \(a_1=2,\ a_{n+1}=3a_n-2\)의 앞부분을 계산했다.
\(2,4,10,28,\dots\)을 보고 후보 일반항을 \(a_n=3^n-1\)로 정했다. 실제로 \(n=1\)일 때 \(3^1-1=2\)이므로 첫 항은 맞았다.
두 후보의 비교
| 후보 | 초기항 확인 | 재귀식 확인 | 판정 |
|---|---|---|---|
| \(3^n-1\) | \(a_1=2\) | \(a_{n+1}=3^{n+1}-1\), \(3a_n-2=3^{n+1}-5\) | 탈락 |
| \(1+3^{n-1}\) | \(a_1=2\) | \(3a_n-2=3(1+3^{n-1})-2=1+3^n=a_{n+1}\) | 채택 |
재귀식이 일반항을 결정하는 방식
첫째 항만 확인하면 앞의 한 항에 대해서만 일치할 뿐이다. 일반항이 실제 수열을 나타내려면 모든 자연수 \(n\)에 대해 초기조건과 재귀식을 함께 만족해야 한다.
두 단계 검증
- 초기조건 확인: \(a_1=1+3^0=2\)
- 점화식 확인: \[ 3a_n-2=3(1+3^{n-1})-2=1+3^n=a_{n+1} \]
따라서 수열의 일반항은 \(\boxed{a_n=1+3^{n-1}}\)이다.
다음 문제에서의 적용
청주송정동과외에서 같은 유형을 풀 때는 계산한 몇 개의 항만 보고 식을 확정하지 않는다. 후보 일반항을 세운 뒤 \(a_1\)에 대입하고, 반드시 \(a_{n+1}=f(a_n)\)를 만족하는지 확인해야 한다.
예를 들어 \(b_1=5,\ b_{n+1}=2b_n+3\)이라면 \(b_n=8\cdot2^{n-1}-3\)을 제시한 뒤 두 조건을 각각 검증한다. 이 절차가 재귀식과 일반항의 연결을 보장한다.
방법이 두 가지일 때 무엇을 비교할까요?
현재 배우는 단원의 한 문제를 서로 다른 방법으로 풀었다면 줄 수만 비교하지 말고 어떤 조건을 활용했는지 살펴보세요. 한 방법은 특정 형태에서만 간단할 수 있습니다. 더 짧은 풀이를 무조건 외우기보다 선택한 이유까지 설명할 수 있는 방법을 정리해 보세요.
학교에서 수학 과목을 함께 배우고 있다면
동시에 배우는 과목이 있다면 같은 수학이라는 이유로 진도와 숙제를 한 목록에 섞지 말고 과목명을 구분해 보세요. 과목마다 남은 질문과 평가 범위가 다를 수 있습니다. 고2 상담에서는 실제 수강 중인 과목과 학교 일정부터 확인하는 것이 좋습니다.
현재 학습에서 함께 살펴볼 범위
고등 수학
현재 수강 과목과 시험 범위를 먼저 확인하고 개념, 식의 변형, 함수와 그래프, 문제 조건의 해석을 연결합니다. 선택 과목은 실제 이수 범위에 맞춰 준비하며 내신 답안과 모의고사 풀이 시간은 구분해 점검합니다.
고2 점검 기준
실제 수강하는 선택 과목과 학교 평가 범위를 확인합니다. 모든 학생에게 같은 선택 과목의 내용을 적용하지 않습니다.
수업 진행 예시
선택 과목: 변화율의 의미
미분을 배우는 과목을 수강한다면 f(x) = x³에서 f′(x) = 3x²를 구하고 x = 1에서의 순간변화율이 3임을 확인합니다. 계산 규칙을 적용하는 것과 그래프에서 변화율을 해석하는 것을 구분합니다.
선택 과목: 확률의 조건
확률을 배우는 과목을 수강한다면 공정한 주사위에서 짝수가 나올 확률을 3/6 = 1/2로 구합니다. 가능한 결과가 같은 가능성을 갖는다는 조건을 확인한 뒤 전체 경우와 해당 경우를 구분합니다.
위 내용은 지도 범위와 연습 방법을 설명하는 예시입니다. 학생이 이미 배운 내용과 현재 진도에 맞춰 적용하며, 모든 내용을 한 수업에서 진행하지 않습니다.
수업 진행 안내
상담 → 선생님 연결 → 첫 수업 → 정규 수업
학생의 학습 상황을 상담하고, 선생님과 수업 방식이 맞는지 확인한 뒤 시간·횟수·비용을 정합니다. 숙제 확인과 보호자 피드백은 학생별로 조율하며, 보강과 일정·선생님 변경이 가능합니다.
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| 학교급 | 방문 수업 | 화상 수업 |
|---|---|---|
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