청주송정동 중2수학과외

청주송정동 중2수학과외에서 다룬 여사건의 경계

청주송정동과외 수업에서 학생은 확률 단원의 ‘여사건’을 이용해 범위 조건이 붙은 문제를 풀었다.

전체 경우를 세기 전에 멈춘 한 줄

문제는 주머니에서 공을 한 개 꺼낼 때, 숫자 1부터 10까지 적힌 공 중 4의 배수가 나오지 않을 확률을 구하는 것이었다. 학생은 먼저 종이에 전체 경우를 10개라고 쓰고, ‘4의 배수’를 4와 8 두 개로 표시했다. 이어 원하는 경우를 10-2=8로 계산한 뒤 확률을 8/10이라고 적었다. 여기까지는 여사건을 이용한 풀이였다.

교사가 조건을 바꾸어 “1보다 크고 10보다 작은 수가 적힌 공만 선택한다”고 읽어 주자 학생은 바로 10을 전체 경우로 두었다. 조건에 맞는 수가 2부터 9까지라는 사실은 읽었지만, 앞에서 만든 전체 경우 표를 그대로 사용한 것이다. 결과가 틀어진 최초의 판단은 계산 실수가 아니라 새 조건이 정한 표본공간을 다시 정하지 않고 전체 경우를 10개로 고정한 것이었다.

여사건은 ‘원하는 일이 아닌 경우’를 빼는 방법이지만, 먼저 조건 안에 실제로 포함된 전체 경우를 정해야 한다.

조건이 바뀐 자리만 다시 세기

학생은 기존 계산을 모두 지우지 않고, 전체 경우를 정한 줄만 고쳤다. 1보다 크고 10보다 작은 수를 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9로 다시 적어 전체 경우를 8개로 표시했다. 이 안에서 4의 배수는 4와 8이므로 원하는 사건은 2개, 여사건인 ‘4의 배수가 아닌 사건’은 6개였다.

따라서 구하는 확률은 6/8=3/4이다. 학생은 여사건의 확률을 직접 구한 뒤, 2/8+6/8=1이 되는지도 확인했다. 조건이 없는 처음 문제에서는 전체 10개에서 4와 8을 제외했지만, 조건이 생긴 뒤에는 조건 안의 전체 8개에서 제외해야 한다는 점을 한 문장으로 정리했다.

표가 아니라 문장으로 바뀐 독립 적용

다음 문제는 숫자 공이 아니라, 한 학급의 선택 결과를 나타낸 표에 관한 것이었다. 표에는 ‘버스를 선택한 학생’, ‘도보를 선택한 학생’, ‘자전거를 선택한 학생’이 구분되어 있었고, 그중 “버스를 선택하지 않은 학생”의 비율을 구하라고 했다. 학생은 버스 학생 수만 원하는 경우로 세지 않고, 표에 기록된 전체 학생 수를 먼저 확인했다.

이번에는 질문의 방향이 달랐다. 버스를 선택하지 않은 경우는 도보와 자전거를 선택한 경우의 합이므로, 학생은 1-버스를 선택한 확률로 계산했다. 표의 전체 학생이 20명이고 버스 선택자가 7명이면 여사건은 13명, 확률은 13/20이다. 이어 도보와 자전거 인원을 합한 수가 13명인지 대조하여, 여사건을 단순히 ‘어떤 한 종류가 아닌 것’으로 잘못 해석하지 않았는지도 점검했다.

힌트 없이 세운 최종 판단

마지막 문제에서 학생은 “주사위를 한 번 던져 2보다 크고 5보다 작지 않은 수가 나올 확률”이라는 문장을 혼자 읽었다. 학생은 먼저 조건을 두 부분으로 나누어 2보다 큰 수는 3, 4, 5, 6이고 5보다 작지 않은 수는 5, 6이라고 적었다. 두 조건을 동시에 만족하는 결과를 5와 6으로 정한 뒤, 전체 주사위 결과 6개 중 2개라고 설명했다.

학생은 “5보다 작지 않다”를 5 이상으로 읽었기 때문에 5를 제외하지 않았다고 풀이 이유를 밝혔다. 여사건을 이용하면 조건에 맞지 않는 1, 2, 3, 4가 네 개이므로 1-4/6=2/6이 되어 같은 값이 나온다고 검산했다. 조건의 경계를 먼저 정하고, 사건과 여사건의 확률 합이 1인지 확인하는 판단을 도움 없이 재현한 장면이었다.

• 조건이 있으면 조건 안의 결과만 전체 경우로 정한다.
• 여사건은 전체 경우에서 사건을 제외한 나머지이다.
• 경계 표현을 숫자로 바꾼 뒤 사건과 여사건의 합이 전체가 되는지 확인한다.