청주송정동 고1수학과외







청주송정동+고1수학과외: 직선의 위치를 판단할 때 경계값을 놓친 사례
원 \(x^2+y^2=25\)와 직선 \(y=2x+k\)의 위치 관계를 묻는 문제에서 학생은 \(k\)의 한쪽 범위만 답으로 적었다. 직선의 절편이 양수인지 음수인지에 따라 원과 만나는 위치가 달라진다고 생각했기 때문이다.
부호 하나가 빠지며 생긴 범위 오류
학생은 직선을 \(2x-y+k=0\)으로 바꾼 뒤 원의 중심 \((0,0)\)에서 직선까지의 거리를 \(\frac{k}{\sqrt5}\)로 계산했다. 그래서 \(\frac{k}{\sqrt5}<5\), 즉 \(k<5\)만 얻었다.
하지만 거리에는 방향이 없으므로 분자는 반드시 절댓값으로 처리해야 한다. 중심에서 직선까지의 거리는
\(\displaystyle \frac{|k|}{\sqrt5}\)
이다. 두 점에서 만나려면 이 값이 반지름 5보다 작아야 하므로 \(|k|<5\), 따라서 \(-5<k<5\)가 된다. 학생은 풀이 중간에 부호를 표시하고, 거리의 정의에 맞는 형태인지 확인하는 방식으로 오류를 바로잡았다.
같은 위치 관계를 다른 직선으로 옮겨 보기
이후 원 \(x^2+y^2=16\)과 직선 \(3x+4y=t\)가 한 점에서 만나는 \(t\)의 값을 구하게 했다. 이번에는 직선의 계수에서 법선벡터를 읽어 중심에서 직선까지의 거리를 \(\frac{|t|}{5}\)로 세웠다.
접할 때 거리가 반지름과 같으므로
\[ \frac{|t|}{5}=4 \]
이고, \(t=20\) 또는 \(t=-20\)이다. 직선의 식을 기울기 형태로 바꾸지 않고 일반형 그대로 비교하면서, 절편의 부호와 관계없이 두 경우를 모두 포함했다.
- 두 점에서 만남: \(|t|<20\)
- 한 점에서 만남: \(|t|=20\)
- 만나지 않음: \(|t|>20\)
판별식으로 독립 확인한 마지막 단계
새 직선 \(3x+4y=20\)을 \(y=\frac{20-3x}{4}\)로 바꾸어 원의 식에 대입했다. 정리하면
\[ 25x^2-120x+144=0 \]
이 식의 판별식은 \(120^2-4\cdot25\cdot144=0\)이므로 교점이 하나임을 확인할 수 있다. 거리 공식에 의존해 얻은 경계값이 실제로 접선 조건과 일치하는지 판별식으로 다시 검증한 것이다.
청주송정동 생활권에서 진행한 이 학습에서는 직선의 위치 관계를 그림의 방향으로 판단하지 않고, 중심과 직선 사이의 거리와 경계값을 기준으로 분류하는 습관을 남겼다.