인천 중등수학과외

인천중등수학과외, 동전과 회전판에서 34가지 경우와 1/34를 확인하는 방법

동전의 앞면·뒷면이 같은 확률로 나오고, 1부터 17까지의 숫자가 같은 확률로 나오는 회전판을 서로 독립으로 시행하는 문제를 생각해 보겠습니다. 먼저 묻는 것은 전체 결과의 수이고, 이어서 묻는 것은 ‘앞면과 숫자 1이 함께 나올 확률’입니다. 기본 문제를 설명할 수 있어도 비교 문제에서 경우의 수를 다시 답으로 쓰거나, 확률의 분모를 정하는 단계에서 멈출 수 있습니다. 이때는 개념을 처음부터 반복하기보다 두 문제의 질문이 어떻게 달라졌는지 풀이의 첫 두 줄에서 확인하는 편이 정확합니다.

전체 경우는 왜 34가지인가

동전 결과는 앞면, 뒷면의 2가지이고 회전판 결과는 1, 2, 3, …, 17의 17가지입니다. 한 결과는 ‘앞면-1’처럼 동전 결과와 회전판 결과를 함께 적은 순서쌍입니다. 앞면일 때 17가지, 뒷면일 때도 17가지이므로 전체 경우는 17+17=34가지입니다. 곱셈으로는 2×17=34가지입니다. 나무그림에서는 첫 갈래를 앞면·뒷면으로 나누고 각 갈래 끝에 1부터 17까지를 붙이면, 한 갈래마다 17개의 끝점이 생깁니다. ‘앞면-1’과 ‘뒷면-1’은 회전판 숫자가 같아도 동전 결과가 다르므로 서로 다른 경우라는 점을 체크표에서 구분합니다.

비교 문제에서는 ‘몇 가지’가 아니라 한 사건의 확률을 묻는다

두 번째 문제에서 유지되는 조건은 동전의 두 면이 같은 확률이고 회전판의 17개 숫자도 같은 확률이며, 두 시행이 서로 독립이라는 점입니다. 달라진 것은 전체 결과의 수를 묻던 질문이 특정 결과 하나, 즉 앞면-1이 나올 가능성을 묻는 질문으로 바뀐 점입니다. 공정한 동전과 균등한 회전판이 독립이면 34개의 순서쌍은 각각 같은 확률을 가집니다. 그중 ‘앞면과 1’에 해당하는 순서쌍은 정확히 1개이므로 확률은 1/34입니다. 같은 결론은 P(앞면과 1)=P(앞면)×P(1)=1/2×1/17=1/34로도 확인할 수 있습니다. 확률은 0과 1 사이여야 하므로 1/34가 그 범위 안에 있는지도 함께 살핍니다.

풀이를 고칠 때는 바뀐 질문과 독립 조건을 따로 표시한다

인천중등수학과외에서는 두 풀이를 나란히 놓고 첫 줄에 ‘전체 경우 2×17’, 두 번째 줄에 ‘찾는 사건 앞면-1 한 가지’라고 적게 할 수 있습니다. 이어 “회전판 결과와 동전 결과는 서로 독립인가?”를 확인합니다. 독립이라는 조건이 있으므로 앞면이 나왔다는 사실이 회전판에서 1이 나올 확률을 바꾸지 않으며, 두 확률을 곱할 수 있습니다. 만약 34만 적고 멈췄다면 전체 경우를 구한 단계와 사건의 확률을 구하는 단계를 구별하도록 합니다. 반대로 1/17만 적었다면 동전에서 앞면이어야 한다는 조건 1/2가 빠졌는지 점검합니다.

다음에는 도움 없이 ‘앞면과 숫자 1’이라는 사건을 먼저 표시하고, 전체 34가지 중 해당 순서쌍이 몇 개인지 센 뒤 1/34를 쓸 수 있는지 확인합니다. 학생이 비교 문제의 첫 식을 스스로 선택하더라도, 왜 34가지가 같은 확률인지와 왜 두 확률을 곱하는지를 근거로 말하는지까지 살펴야 합니다. 특정 단계에서 멈춘다면 답을 바로 제시하기보다 멈춘 줄이 전체 경우를 세는 줄인지, 사건을 고르는 줄인지 기록해 다음 문제의 조건 읽기와 식 세우기에 연결합니다.