인천 고1수학과외







간석4거리에서 시작한 매개변수 부등식의 허용 범위 찾기
인천 간석4거리 인근에서 고1 수학을 공부하던 학생은 매개변수 부등식의 답을 빠르게 정리하려고 했다. 문제는 (a-1)(x-1)>0의 해를 구하는 과정에서 시작됐다.
나눗셈 한 번이 바꿔 버린 해의 방향
학생은 양변을 a-1로 나눈 뒤 곧바로 x-1>0, 즉 x>1이라고 적었다. 그러나 a-1이 양수인지 음수인지 정하지 않은 상태에서 나누면 부등호 방향을 확정할 수 없다. 또한 a=1이면 나누는 것 자체가 불가능하다.
문자식으로 나누기 전에는 그 식의 부호와 0이 되는 경우를 먼저 분류한다.
학생은 풀이의 중간에 a-1의 부호를 기준으로 경우를 나눴다.
a>1이면a-1>0이므로x-1>0, 따라서x>1이다.a<1이면a-1<0이므로 부등호 방향이 바뀌어x-1<0, 따라서x<1이다.a=1이면 식은0>0이 되어 해가 없다.
이렇게 해야 매개변수의 허용 범위와 각 경우의 해를 빠뜨리지 않는다. 학생은 답 옆에 ‘양수·음수·0’ 세 구간을 짧게 표시해 두고, 어느 경우에 부등호가 바뀌는지 확인했다.
부등호의 방향이 달라지는 새 조건
이후에는 같은 계산을 반복하지 않고, 조건을 (a-2)(x+1)≤0으로 바꾸어 적용했다. 기준점은 a=2, 문자식의 경계값은 x=-1이었다.
a>2일 때는 x≤-1, a<2일 때는 부등호가 뒤집혀 x≥-1이 된다. a=2이면 0≤0이므로 모든 실수 x가 해가 된다. 학생은 문제의 조건이 ‘초과’에서 ‘이하’로 바뀌면서 경계값의 포함 여부도 함께 달라진다는 점을 별도로 적었다.
그래프에서 세 경우를 다시 확인하다
마지막에는 식을 그래프로 옮겨 검증했다. y=(a-1)(x-1)은 x=1을 지나는 직선이며, a>1에서는 오른쪽 구간에서 그래프가 양수이고 a<1에서는 왼쪽 구간에서 양수이다. a=1일 때 그래프가 x축과 겹치므로 y>0을 만족하는 구간이 없다는 것도 확인했다.
학생은 단순히 범위를 외우는 대신, 매개변수가 곱의 부호와 부등호 방향을 어떻게 바꾸는지 그래프에서 대조하며 풀이 근거를 남겼다.