인천 고3수학과외
조건 하나가 분산의 후보를 바꾼 순간
인천국제고등학교와 인천과학예술영재학교가 포함된 생활권에서 고3수학과외를 받는 학생의 오답 기록을 살펴보다가, 분산을 계산하는 실수보다 먼저 확인해야 할 장면을 발견했다. 학생은 자료의 값과 분산 조건을 식으로 옮기는 데는 익숙했지만, 매개변수의 허용 범위를 계산 뒤로 미루고 있었다.
계산보다 먼저 표시했어야 할 제한
문제는 네 자료 1, 2, 4, a를 같은 비율로 뽑을 때, a가 정수이고 1≤a≤6이라는 조건 아래 분산이 35/16이 될 수 있는지를 묻는 형태였다. 학생은 곧바로 평균을
m=(1+2+4+a)/4=(7+a)/4
로 놓고, 분산을 평균제곱에서 평균의 제곱을 뺀 값으로 계산했다. 이 식 자체는 맞았다. 그러나 풀이 첫 줄에는 ‘a는 1 이상 6 이하인 정수’라는 조건 중 a가 정수라는 사실만 적혀 있었다. 특히 하한 a≥1을 빠뜨린 채 분산 조건을 정리하니
(35+3a²−14a)/16=35/16
a(3a−14)=0
에서 a=0 또는 a=14/3을 얻었다. 학생은 a=0을 자료에 대입한 뒤 분산이 맞으므로 답이 있다고 결론 냈다. 하지만 a=0은 문제에서 허용하지 않은 값이고, 14/3은 정수가 아니다. 최초의 어긋남은 분산 계산이 아니라, 조건을 식 옆에 옮겨 적지 않은 행동이었다.
빠진 조건만 되살려 후보를 걸러내기
풀이를 전부 다시 쓰게 하지 않고, 첫 식 아래에만 다음 세 줄을 추가하게 했다.
- a는 정수
- 1≤a≤6
- a=0, 14/3 중 조건을 만족하는지 확인
그 결과 a=0은 하한을 어기고, a=14/3은 정수 조건을 어긴다는 점이 즉시 드러났다. 따라서 주어진 조건을 모두 만족하면서 분산이 35/16인 자료는 존재하지 않는다. 학생은 이전처럼 계산 결과를 얻었다는 이유만으로 후보를 확정하지 않고, 마지막에 원래 조건으로 되돌아가 하나씩 제거하는 과정을 남겼다.
이때 표준편차를 분산과 섞지 않도록 기록도 분리했다. 먼저 분산=35/16을 판정한 뒤, 표준편차가 필요할 때만 √35/4로 바꾸었다. 분산의 조건을 확인하는 문제에서 표준편차를 먼저 제곱하거나 반대로 분산을 표준편차처럼 쓰는 일을 막기 위한 작은 표시였다.
조건의 위치가 바뀐 변형 문제
며칠 뒤에는 자료가 0, 2, 5, b이고, b는 -1 이상 4 이하의 정수라는 문제를 제시했다. 이번에는 분산값을 먼저 주지 않고, 평균이 3/2이며 분산이 29/4가 되는 b를 찾게 했다. 학생은 조건을 뒤에서 찾지 않고 문제의 문장 옆에 ‘b∈{-1,0,1,2,3,4}’를 먼저 적었다.
평균 조건에서
(0+2+5+b)/4=3/2
이므로 b=-1을 얻었고, 곧바로 허용 범위의 끝값인지 확인했다. 이어 편차를 -3/2, 1/2, 7/2, -5/2로 펼쳐 제곱의 평균을 계산해 분산이 29/4임을 확인했다. 단순히 숫자만 바꾼 문제가 아니라, 제한조건이 평균식에 먼저 작용하고 분산은 그 결과를 검산하는 구조였다. 학생은 후보를 얻은 뒤 조건을 확인하는 것이 아니라, 조건 안에서 후보를 찾는 순서로 바뀌었다.
힌트 없이 남은 판단
마지막 확인에서는 조건 표시 방법을 알려 주지 않고, 자료 2, 3, 6, c의 평균이 4이고 c가 0 이상 8 이하의 정수일 때 분산을 구하게 했다. 학생은 먼저 c를 5로 결정한 뒤, 평균 4를 기준으로 편차를 -2, -1, 2, 1로 적었다. 분산은 (4+1+4+1)/4=5/2라고 계산했다.
답만 말하지 않고 “c=5는 정수이며 0≤c≤8을 만족한다”고 조건을 역추적했고, 표준편차를 묻는 경우에는 분산과 구분해 √10/2라고 덧붙였다. 인천과외 수업에서 확인한 변화는 계산 속도가 아니라, 첫 식을 세우기 전에 표본의 조건을 찾고, 후보를 원래 범위에 다시 대입하는 판단이 스스로 유지되었다는 점이다.