송현지구 중등수학과외

송현지구중등수학과외, 51·68 직각삼각형에서 빗변과 직각변 식을 바꿔 확인하기

피타고라스 정리는 식을 외우는 것보다 “지금 구하려는 변이 무엇인가”를 먼저 읽는 과정이 중요합니다. 두 직각변이 51, 68인 직각삼각형에서 빗변을 구하는 기본 과제의 답은 85이고, 빗변 85와 한 직각변 51이 주어졌을 때 다른 직각변을 구하는 비교 과제의 답은 68입니다. 두 문제 모두 a²+b²=c²라는 관계를 쓰지만, 모르는 변의 자리가 달라 첫 계산이 달라집니다. 기본 문제는 설명할 수 있어도 새 조건에서 더하기와 빼기 중 무엇을 선택할지 망설일 수 있으므로, 한 번의 답만으로 개념 부족이라고 단정하기보다 조건을 표시한 뒤 첫 식을 어떻게 세우는지 살펴볼 필요가 있습니다.

직각의 맞은편을 먼저 찾아 빗변으로 표시합니다

직각삼각형에서 직각의 맞은편 변은 가장 긴 변인 빗변입니다. 이를 c로 두면 두 직각변 a, b와의 관계는 a²+b²=c²입니다. 기본 과제에서는 51과 68이 직각을 이루는 두 변이고, 구할 85가 빗변 위치에 놓입니다. 따라서 51²+68²=c²로 적습니다. 51²=2601, 68²=4624이므로 c²=2601+4624=7225입니다. 7225는 85²이므로 c=85입니다. 길이는 음수가 될 수 없으므로 답은 85입니다. 정사각형 넓이 그림으로 보면 두 작은 정사각형의 넓이 2601과 4624를 합친 값이 빗변 위 정사각형의 넓이 7225가 되는 모습입니다. 이때 ‘제곱을 더한다’는 말만 남기지 않고, 빗변의 제곱을 구하는 상황이라서 두 직각변의 제곱을 더한 것임을 연결해야 합니다.

비교 과제에서는 미지수가 직각변인지 확인해 식을 정리합니다

비교 과제는 빗변이 85, 한 직각변이 51이며 다른 직각변을 x로 둡니다. 직각의 맞은편인 85가 빗변이라는 표시는 그대로 유지되지만, 모르는 수는 더 이상 빗변이 아닙니다. 그래서 51²+x²=85², 즉 2601+x²=7225가 됩니다. x²를 남기려면 2601을 오른쪽으로 옮겨 x²=7225-2601=4624로 정리하고, x=68을 얻습니다. ‘모르는 변이 빗변일 때와 직각변일 때 식이 같은가요?’라는 짧은 질문은 답을 알려 주기 위한 힌트가 아니라, 미지수 위치를 읽었는지 확인하는 기준이 됩니다. 예를 들어 이 문제에서도 51²와 85²를 더한다면 빗변의 제곱이 이미 주어졌다는 조건과 맞지 않습니다. 송현지구중등수학과외에서는 두 문제를 나란히 적어 85에 빗변 표시를 하고, 기본 문제에서는 c²가 합의 결과에 놓이며 비교 문제에서는 x²를 위해 한 항을 빼는 차이를 직접 표시하도록 돕습니다.

정답 확인은 원래 관계에 대입해 두 조건을 함께 맞춥니다

비교 과제의 68은 계산 결과만 보고 끝내지 않고 원래 식에 넣어 확인할 수 있습니다. 51²+68²=2601+4624=7225이고, 85²도 7225이므로 51²+68²=85²가 성립합니다. 세 변의 길이도 51, 68, 85로 모두 양수이며, 85가 가장 길어 빗변 조건과도 맞습니다. 다음 확인에서는 먼저 도움 없이 빗변과 직각변을 표시하게 하고, “기본 과제와 비교 과제에서 달라진 조건은 무엇인가요?”에 빗변을 구하는지 직각변을 구하는지로 답하는지 봅니다. 이어 비교 과제의 첫 식을 스스로 51²+x²=85²로 선택하고, x²를 남기기 위해 2601을 빼는 이유를 말할 수 있는지 확인합니다. 표시 단계에서 멈추는지, 식을 정리할 때 멈추는지를 구분해 기록하면 이후에는 어느 부분을 다시 다뤄야 할지 더 정확히 정할 수 있습니다.