송현지구 중2수학과외

문장 속 조건을 그래프로 옮기는 중2수학과외 수업

이번 학생의 문제는 “기본요금이 3,000원이고 1km마다 800원이 추가되는 택시 요금”을 식과 그래프로 나타낸 뒤, 특정 구간에서 요금 기준이 달라지는 상황을 해석하는 것이었다.

그래프를 먼저 보고 식을 정한 순간

학생은 거리와 요금을 각각 x, y로 정하고 표에 0, 1, 2, 3을 적었다. 기본요금 3,000원은 y축과 만나는 값이라고 표시했으며, 거리 1km가 늘 때마다 요금이 800원씩 증가하므로 y=800x+3000이라고 썼다. 이어 (0, 3000), (1, 3800), (2, 4600)을 좌표평면에 찍고 직선으로 연결했다.

그런데 문제에 “2km까지는 800원씩 추가하고, 2km를 초과한 뒤에는 1km마다 1,000원이 추가된다”는 조건이 붙자 학생은 이미 그려 둔 직선의 모양을 바라보며 같은 식을 계속 사용했다. 그래프가 오른쪽으로 올라가는 모양이라는 이유로 전체 구간을 y=800x+3000으로 확정한 것이다. 이때 계산 실수보다 먼저 어긋난 판단은 조건이 바뀌는 경계 x=2를 확인하지 않고 하나의 직선으로 결정한 것이었다.

직선처럼 보인다는 사실은 증가한다는 정보만 알려 줄 뿐, 모든 구간에서 같은 증가량을 쓴다는 뜻은 아니다.

경계에서 식이 달라지는지 다시 읽기

교정에서는 학생이 이미 만든 표와 첫 번째 식을 지우지 않았다. 대신 문제 문장에서 “2km까지”와 “2km 초과”에 각각 밑줄을 긋고, x=2를 세로선으로 표시했다. 0≤x≤2에서는 1km당 800원이므로 기존 식 y=800x+3000을 유지했다. x가 2를 넘으면 2km까지의 요금 4,600원에 초과한 거리만큼 1,000원을 더해야 하므로 y=1000(x-2)+4600으로 세웠다.

학생은 두 번째 식을 정리해 y=1000x+2600이라고 적었지만, 바로 전체 구간에 사용하지 않고 조건을 옆에 함께 기록했다. x=2를 두 식에 넣어 첫 식은 4,600, 두 번째 식도 4,600이 되는지 확인했다. 이 검산으로 경계점에서는 두 표현이 이어지지만, x가 3일 때 첫 식은 5,400, 두 번째 식은 5,600이므로 기울기가 달라진다는 사실을 그래프에 다시 표시했다. 그래프는 한 줄이 아니라 x=2에서 방향이 달라지는 두 선분으로 나타냈다.

식이 아닌 표와 문장으로 바꾼 적용

다음 문제에서는 요금식을 직접 주지 않고 다음과 같은 문장과 표를 제시했다. “거리 2km 이하에서는 기본 3,000원에 1km당 800원을 더하고, 2km를 넘으면 초과 거리 1km당 1,000원을 더한다.” 표에는 거리 0, 1, 2, 3과 요금 3,000, 3,800, 4,600, 빈칸이 섞여 있었다.

학생은 먼저 표의 빈칸을 무조건 같은 차이로 채우지 않았다. 2에서 3으로 넘어가는 행 옆에 ‘경계 초과’라고 적은 뒤 4,600+1,000을 계산해 5,600을 넣었다. 그다음 그래프에서 (0,3000), (1,3800), (2,4600)을 한 선으로 연결하고, (2,4600)과 (3,5600)을 별도의 선분으로 연결했다. 질문이 “거리 2km에서 요금이 얼마인가?”가 아니라 “요금이 5,200원보다 큰 거리는 어느 구간인가?”로 바뀌었을 때도, 먼저 경계 x=2를 나눈 뒤 각 식에서 조건에 맞는 범위를 살폈다. 첫 구간에서는 800x+3000>5200을 확인하고, 두 번째 구간에서는 1000x+2600>5200을 확인해 같은 직선으로 처리하지 않았다.

도움 없이 경계와 교점을 재현한 검증

수업 후반에는 “기본요금 2,500원, 3km까지는 600원씩, 3km를 초과하면 900원씩 추가”라는 새 상황을 제시했다. 학생은 힌트를 기다리지 않고 종이에 먼저 x=3을 경계로 표시했다. 이어 0≤x≤3에서는 y=600x+2500, x>3에서는 3km 요금 4,300원에서 출발해 y=900(x-3)+4300이라고 설명했다.

학생은 두 식에 x=3을 대입해 모두 4,300이 되는지 확인하고, x=4를 대입해 첫 번째 방식으로는 4,900, 두 번째 방식으로는 5,200이 된다고 비교했다. “그래프의 증가 방향만 보고 식을 정하면 안 되고, 문장에서 추가량이 바뀌는 위치를 먼저 찾아야 한다”고 풀이 이유를 스스로 말한 뒤, 경계점과 두 식의 값을 모두 검산했다. 이 장면에서 송현지구중2수학과외의 핵심은 정답을 적는 데 있지 않고, 문장·표·식·그래프가 같은 정보를 나타내는지 경계마다 다시 확인하는 판단을 혼자 재현하는 데 있었다.