송현지구 고3수학과외

끝점에서 갈라지는 경우를 먼저 확인한 풀이

송현지구 생활권에서 수능 기출을 점검하던 학생의 풀이에는 계산보다 먼저 살펴야 할 장면이 있었다. 문제는 다음 조건을 만족하는 실수 \(x\)의 개수를 묻고 있었다.

\(\log_2(x-1)+\log_2(5-x)\ge 0\)

학생은 곧바로 로그의 성질을 적용해

\(\log_2\{(x-1)(5-x)\}\ge0\)에서 \((x-1)(5-x)\ge1\)

이라고 정리했다. 이어 이차부등식을 풀어 \(2\le x\le4\)를 얻었고, 정답도 그 구간의 길이를 이용해 마무리하려 했다. 겉으로는 자연스러웠지만, 풀이의 첫 줄 옆에는 반드시 남겨야 할 조건이 빠져 있었다.

계산보다 앞서 멈춰야 했던 지점

두 로그가 정의되려면 각각 \(x-1>0\), \(5-x>0\)이어야 하므로 먼저 \(1

최초 오류는 이차부등식 계산이 아니었다. 로그의 진수가 양수라는 핵심조건을 후보 구간 옆에 남기지 않고, 일반적인 부등식 풀이로 바로 넘어간 것이었다. 따라서 뒤의 인수분해를 다시 하는 것보다 경계에서 식이 존재하는지를 먼저 되돌려야 했다.

경계와 일반 구간을 분리한 기록

교정할 때 학생은 풀이표를 두 줄로 나누었다.

• 정의역: \(1
• 로그값 조건: \((x-1)(5-x)\ge1\)

그다음 \(t=x-1\)로 두면 \(0

\(-t^2+4t-1\ge0\), 즉 \(t^2-4t+1\le0\)이다. 근은 \(2-\sqrt3,\ 2+\sqrt3\)이므로 \(x\)의 범위는

\(3-\sqrt3\le x\le3+\sqrt3\)

가 된다. 양 끝값은 모두 1과 5 사이에 있으므로 정의역 조건도 만족한다. 특히 \(x=1\)이나 \(x=5\)를 직접 대입하면 로그 진수가 0이 되어 탈락한다는 점을 따로 확인했다. 일반 구간의 부등식 결과와 예외가 생기는 경계를 섞지 않은 것이다.

이후 학생은 풀이에 사용하지 않은 조건을 표시하는 습관도 붙였다. 예를 들어 정의역이 이미 결과 구간에 포함되더라도 “자동으로 사라진 조건”이라고 넘기지 않고, 끝점 후보를 실제 원식에 대입해 제거 여부를 남겼다. 송현지구과외 학습 상담에서 이 장면을 다시 설명할 때에도 정답보다 먼저 어떤 조건이 식을 살아 있게 하는지 말하도록 했다.

조건 하나를 바꾼 역문제

같은 로그 계산을 외우지 않았는지 확인하기 위해 문제의 질문을 바꾸었다.

\(\log_2(x-1)+\log_2(5-x)=0\)을 만족하는 실수 \(x\)의 개수를 구하여라.

이번에는 학생이 유형명을 보지 않은 채 정의역 \(1

이어 조건을 하나 더 바꿔 \(x\)가 정수라는 제한을 붙였다. 학생은 먼저 얻은 두 후보가 정수가 아님을 확인해 답이 0으로 바뀐 이유를 설명했다. 단순히 해를 버린 것이 아니라, “로그 조건으로 후보를 만들고 정수조건으로 다시 걸러냈다”고 순서를 번호로 남겼다. 반대로 정의역 조건을 적지 않았다면 \(x=1,5\)를 후보로 잘못 세게 된다는 점도 비교했다.

힌트 없이 남은 판단

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\(\log_3(x+2)+\log_3(4-x)\le1\)을 만족하는 정수 \(x\)를 구하는 문제였다. 학생은 먼저 \(-2

마지막에는 결론에서 거꾸로 올라가 “로그를 합치려면 두 진수가 양수여야 하고, 정수조건은 그다음 후보를 줄이는 데 쓰였다”고 설명했다. 숫자와 부등호 방향이 바뀌었는데도 정의역을 먼저 세우고 경계값을 원식에 대입하는 판단이 유지되었다. 이것이 경우를 나눌 때 계산 속도보다 핵심조건과 경계의 관계를 확인한 결과였다. 송현지구고3수학과외에서 같은 유형을 다룰 때도 학생은 이제 답의 모양보다 조건이 사라지는 순간부터 점검한다.