송현지구 중3수학과외

접점이 같은지부터 확인한 송현지구 중3 수학 풀이

송현지구과외 수업에서 원의 성질 문제를 풀던 중, 학생은 답지와 같은 숫자를 적고도 풀이의 근거를 설명하지 못했습니다. 문제는 원 밖의 한 점에서 그은 두 접선의 길이 관계를 묻고 있었습니다. 송현지구중3수학과외에서 이 개념을 다룰 때는 그림의 모양보다 먼저 두 선분이 같은 한 점에서 출발하고, 각각 원과 만나는 점이 접점인지를 확인해야 합니다.

식보다 앞서 놓친 표시

교과서의 문제는 원 O에 외부의 점 P가 있고, P에서 원에 그은 두 접선이 각각 A, B에서 만나는 그림이었습니다. PA의 길이는 7cm, PB의 길이는 xcm로 주어졌고 x를 구하는 문제였습니다. 학생은 그림을 보자마자 다음처럼 적었습니다.

“두 접선의 길이는 같으므로 x=7이다.”

계산 결과 자체는 맞았습니다. 하지만 풀이 옆에 그린 표시를 살펴보니 학생은 P, A, B를 표시하지 않고, 원 위의 아무 두 점을 이어 놓은 선분처럼 표시했습니다. 이어서 다른 문제에서는 P에서 출발한 선분 PC와 PD를 보고도 두 접선이라고 판단해 PC=PD를 적용했습니다. 그런데 C는 원 안쪽을 지나가는 점이고, D에서만 원에 닿는 상황이었습니다.

가장 먼저 어긋난 판단은 길이를 같게 놓은 계산이 아니었습니다. 조건이 달라졌는데도 두 선분의 출발점과 접점을 확인하지 않고 성질을 적용한 것이 첫 오류였습니다. 원 밖의 한 점 P에서 출발하여 원에 각각 한 점에서만 닿는 PA, PB일 때에만 PA=PB라고 판단해야 합니다. 원 위의 점이라는 이유만으로, 또는 P에서 그었다는 이유만으로 모두 같은 길이가 되는 것은 아닙니다.

한 번의 표시만 바꿔 다시 읽기

풀이를 전부 지우지 않고, 문제 그림 위에 세 가지 표시만 다시 하게 했습니다.

• 두 선분의 공통 출발점이 정말 P인지 동그라미로 표시하기
• 각 선분이 원과 만나는 끝점을 A, B로 쓰고 접점이라고 표시하기
• 선분이 원을 가로지르는지, 한 점에서만 닿는지 확인하기

첫 문제에서는 P가 공통 출발점이고 PA와 PB가 각각 A, B에서 한 번씩만 닿았습니다. 따라서 두 선분은 같은 점 P에서 그은 접선이고, PA=PB입니다. PA=7cm이므로 PB=x=7cm로 두었습니다. 이미 맞았던 계산은 그대로 두고, 그 계산 앞에 접점 조건을 표시한 것만 달라졌습니다.

반면 두 번째 그림에서는 PC가 원을 두 번 통과했습니다. 학생은 P가 같다는 사실만 보고 PC=PD라고 썼지만, PC는 접선이 아니므로 그 등식은 사용할 수 없습니다. 이때는 “한 점에서 그은 두 접선”이라는 경계를 충족하지 못한다고 판단하고, 해당 성질을 적용하지 않도록 고쳤습니다. 다른 원의 성질이나 새로운 계산법을 끌어오지 않고, 접점 확인만 바로잡은 것입니다.

그림이 돌아가도 조건은 그대로인가

며칠 뒤에는 같은 숫자를 반복하지 않고 표현을 바꾼 문제를 제시했습니다. 원의 오른쪽에 점 Q가 있고, Q에서 위쪽 접점 M과 아래쪽 접점 N으로 선분을 그린 그림이었습니다. 표에는 QM이 5.6cm로 적혀 있었고, 질문은 두 접선의 길이의 합이었습니다.

학생은 먼저 Q를 공통 출발점으로 표시했습니다. 이어 QM과 QN이 원에 각각 M, N에서 한 점으로만 닿는지 확인하고, 두 선분을 접선으로 분류했습니다. 그 뒤

QM=QN=5.6cm이므로 QM+QN=5.6+5.6=11.2cm

라고 적었습니다. 이번에는 그림이 좌우로 뒤집혀 있고 점 이름도 달랐지만, 같은 외부 점에서 출발하는지와 두 끝점이 접점인지가 판단 기준이었습니다. 만약 표의 5.6cm가 원 안을 가로지르는 선분의 길이였다면 같은 식을 쓸 수 없다는 점도 함께 말했습니다.

힌트 없이 조건을 설명한 마지막 확인

마지막에는 도움 없이 새로운 그림을 주었습니다. 원의 왼쪽 바깥에 점 R이 있고, R에서 원의 위쪽 접점 S와 아래쪽 접점 T로 선분이 연결되어 있었습니다. RS=9cm일 때 RT를 구하는 문제였습니다. 그림에는 접선이라는 단어를 따로 쓰지 않았습니다.

학생은 먼저 “RS와 RT는 모두 R에서 시작한다”고 말한 뒤, “S와 T에서 원에 한 점씩만 닿으므로 두 선분을 접선으로 볼 수 있다”고 설명했습니다. 따라서 RS=RT이고 RT=9cm라고 결론 내렸습니다. 검산할 때도 단순히 답이 숫자 하나라는 이유로 끝내지 않고, “결론에 사용한 등식은 같은 외부점 R에서 그은 두 접선의 길이 관계이며, 실제 선분의 출발점 R과 접점 S, T가 일치한다”고 원래 그림과 대조했습니다. 접점을 확인하지 못하는 그림이라면 이 성질을 적용하지 않겠다는 경계까지 스스로 말하면서 풀이를 마무리했습니다.

광명아파트와 뉴서울아파트가 있는 생활권, 동산중학교·화도진중학교·재능중학교가 포함된 송현지구에서도 이 문제는 선분의 모양을 외우는 것보다 조건을 먼저 읽는 연습이 핵심입니다. 두 접선의 길이를 같게 쓰기 전, 공통 출발점과 두 접점을 직접 표시하면 그림이 회전하거나 점 이름이 바뀌어도 같은 판단을 재현할 수 있습니다.