장대동 중등수학과외

장대동중등수학과외, y=(x-9)²+1에서 꼭짓점과 대칭축을 확인하는 방법

이차함수 그래프에서 답을 맞혔더라도, 그 답이 어떤 조건에서 나왔는지 설명할 수 있는지는 별도로 확인할 필요가 있습니다. 예를 들어 y=(x-9)²+1의 꼭짓점과 대칭축을 구하는 문제에서는 꼭짓점이 (9,1), 대칭축이 x=9입니다. 여기서 핵심은 숫자 9와 1을 외우는 일이 아니라, 제곱되는 부분 (x-9)²가 언제 가장 작은 값이 되는지 보는 것입니다. 장대동중등수학과외 수업에서는 정답을 다시 말하게 하기보다 식의 어느 부분이 꼭짓점의 x좌표를 결정하는지 풀이 기록에 표시하며 근거를 확인합니다.

제곱되는 부분이 0일 때 가장 낮은 y값이 정해집니다

(x-9)²는 어떤 x를 넣어도 0 이상입니다. 따라서 y=(x-9)²+1에서 y가 가장 작아지려면 제곱되는 부분이 0이어야 합니다. x-9=0이므로 x=9이고, 이때 y=0+1=1입니다. 그래서 그래프의 가장 낮은 점, 즉 꼭짓점은 (9,1)이 됩니다. 대칭축도 꼭짓점의 가운데를 지나는 세로선이므로 x=9입니다. 풀이에는 ‘x-9=0 → x=9’와 ‘y=1’을 따로 적어 x좌표와 y좌표가 어떻게 나왔는지 연결하는 것이 좋습니다. x=9를 원래 식에 대입하면 y=(9-9)²+1=1이 되어 꼭짓점의 좌표도 식과 맞는지 확인할 수 있습니다.

꼭짓점의 위치와 그래프가 열리는 방향은 다른 조건입니다

비교할 식 y=-(x-9)²+1에서는 괄호 안이 0이 되는 x가 여전히 9입니다. x=9를 대입하면 y=-(9-9)²+1=1이므로 꼭짓점은 똑같이 (9,1), 대칭축도 x=9입니다. 다만 제곱항 앞의 부호가 달라졌습니다. 첫 식은 +(x-9)²이므로 제곱값이 커질수록 y가 1보다 커져 위로 열립니다. 비교 식은 -(x-9)²이므로 제곱값이 커질수록 y가 1보다 작아져 아래로 열립니다. 예를 들어 x=10일 때 첫 식의 y는 2이고, 비교 식의 y는 0입니다. 꼭짓점의 위치를 정하는 ‘괄호 안이 0인 조건’과 열리는 방향을 정하는 ‘제곱항 앞 부호’를 한 판단으로 섞지 않는 것이 중요합니다.

답을 가린 뒤 식·그림·대입 중 한 방식으로 근거를 남깁니다

다음 확인에서는 먼저 기본 식의 답을 가리고 “(x-9)가 0이 되는 x는 무엇인가?”를 식으로 복원해 봅니다. 긴 문장 설명이 어렵다면 x-9=0에 밑줄을 긋고 x=9라고 쓰거나, x=9일 때 y=1임을 대입표에 적어도 됩니다. 이어 비교 식은 도움 없이 풀어 본 뒤, ‘꼭짓점과 대칭축은 같고 아래로 열린다’는 결론을 각각의 조건과 연결해 확인합니다. 만약 x=9는 찾지만 - 기호가 방향을 바꾼 이유를 설명하지 못한다면 x=10을 두 식에 대입해 y값이 2와 0으로 달라지는지를 더 살펴볼 수 있습니다. 반대로 괄호가 0이 되는 x와 부호의 역할을 구분해 표시하고 비교 과제를 스스로 처리한다면, 다음 식에서도 꼭짓점의 위치와 열리는 방향을 따로 점검하는 흐름으로 이어갈 수 있습니다.