장대동 중2수학과외

소수가 섞인 일차부등식에서 경계를 다시 세운 수업

장대동과외 수업에서 학생은 소수가 포함된 일차부등식을 정수 계수 형태로 바꾸는 문제를 풀고 있었다. 장대 푸르지오와 드림월드가 있는 생활권, 대전장대중학교가 포함된 주변 문제지에는 다음과 같은 보기가 제시되어 있었다.

0.4x-1.2≤0.8x+2.4를 정리한 부등식과 그 해를 나타낸 수직선을 고르시오.

학생은 양변에 10을 곱해 소수를 없애는 과정부터 시작했다. 왼쪽에는 4x-12, 오른쪽에는 8x+24라고 적고, 양변에서 4x를 빼는 줄을 따로 표시했다. 이어서 -12≤4x+24가 되었는데, 다음 줄에서 24를 오른쪽에서 없애며 부호를 바꿔야 한다는 생각에 집중한 나머지 실제로는 양변에서 24를 빼야 하는 상황을 놓쳤다.

학생이 적은 첫 식은 다음과 같았다.

-12≤4x+24 → -36≤4x → -9≤x

여기서 계산 결과만 보면 자연스러워 보였지만, 문제의 조건은 x가 오른쪽에 있는 범위를 묻고 있었다. 학생은 수직선에 -9를 찍고 오른쪽을 색칠한 뒤, 보기의 식과 그림이 맞는지 확인하려 했다. 그러나 원래 부등식에 x=-9를 대입하자 왼쪽은 -4.8, 오른쪽은 -4.8이 되어 경계점 자체는 맞았고, 그보다 작은 수를 대입했을 때 부등식이 성립하지 않는다는 사실까지는 확인하지 못했다. 경계값만 맞는 것을 전체 해가 맞는 근거로 사용한 것이 첫 판단의 문제였다.

부호를 바꾸는 때와 범위를 확인하는 때를 분리하다

교사는 이미 맞게 진행한 소수 제거와 이항 과정은 그대로 두고, 학생이 잘못 선택한 한 부분만 되짚었다. 항을 반대편으로 옮길 때는 부호가 바뀌지만, 양변에 같은 수를 더하거나 빼는 것만으로는 부등호 방향이 바뀌지 않는다. 부등호 방향이 바뀌는 경우는 양변을 음수로 곱하거나 나눌 때라고 식 옆에 짧게 표시했다.

따라서 학생은 -12≤4x+24에서 먼저 양변에 -24를 더해 -36≤4x를 얻었다. 그다음 양변을 4로 나누므로 부등호 방향은 그대로 유지되어 -9≤x, 즉 x≥-9가 된다. 여기까지의 식은 처음 답과 같았지만, 교정의 핵심은 결과를 외우는 것이 아니라 각 줄에서 어떤 연산을 했는지 쓰는 데 있었다.

학생은 수직선을 다시 그려 -9에 빈 점이 아닌 찬 점을 찍고 오른쪽을 표시했다. 이어 x=-10, x=0을 각각 원래 부등식에 넣었다. x=-10에서는 -5.2≤-5.6이 거짓이고, x=0에서는 -1.2≤2.4가 참이었다. 경계의 왼쪽과 오른쪽을 나누어 확인하자 식과 수직선의 방향이 같은 이유를 설명할 수 있었다.

식이 아닌 문장과 표에서 경계를 찾기

같은 개념을 숫자만 바꾼 식으로 반복하지 않고, 조건의 위치를 바꾼 문제를 제시했다.

어떤 수 x의 1.5배에서 3을 뺀 값은 그 수의 0.5배보다 크지 않다. x의 범위를 구하고 수직선으로 나타내시오.

학생은 문장을 바로 계산하지 않고 “크지 않다”에 밑줄을 그어 ≤로 바꾸었다. 그 뒤 1.5x-3≤0.5x라고 적고, 양변에 10을 곱해 15x-30≤5x로 정리했다. 5x를 왼쪽으로 옮기면 10x-30≤0, 30을 더하면 10x≤30, 양변을 양수 10으로 나누므로 x≤3이라고 설명했다.

이번에는 경계가 오른쪽에 놓인다는 점을 먼저 예상한 뒤 수직선에 3을 찬 점으로 표시하고 왼쪽을 색칠했다. x=3을 대입했을 때 양변이 모두 1.5가 되고, x=4에서는 왼쪽 값 3, 오른쪽 값 2이므로 “크지 않다”가 성립하지 않는다고 검산했다.

힌트 없이 같은 판단을 재현한 장면

수업 후반에는 조건과 부호를 바꾼 새 문제를 풀이 과정만 보고 판단하게 했다.

-0.6x+1.8>0.2x-2.2의 해를 구하고, 경계점이 포함되는지 판단하시오.

학생은 먼저 양변에 10을 곱해 -6x+18>2x-22로 바꾸었다. 양변에서 2x를 빼고 18을 빼서 -8x>-40을 만든 뒤, 음수 -8로 나누는 순간 부등호가 반대가 되어 x<5라고 표시했다. “이번에는 음수로 나누었기 때문에 방향을 바꾼다”고 풀이 옆에 직접 적었다.

또한 5는 등호가 없는 경계이므로 찬 점이 아니라 빈 점이라고 판단했다. x=4를 대입하면 왼쪽 -0.6, 오른쪽 -1.4라서 참이고, x=6을 넣으면 왼쪽 -1.8, 오른쪽 -1.0이라서 거짓임을 확인했다. 학생은 마지막에 “경계값만 계산하지 않고, 부등호 방향을 결정한 연산과 경계 포함 여부를 따로 검산했다”고 설명했다. 이런 식의 확인을 중심으로 한 장대동중2수학과외에서는 답보다 먼저 첫 판단과 그 근거를 말하도록 풀이를 이어 갔다.