장대동 중1수학과외

문장의 경계 조건을 식으로 옮긴 중1수학 풀이

장대동과외 수업에서 학생은 대전장대중학교가 포함된 생활권의 문장제 문제를 풀며, 문장을 일차식으로 바꾸는 과정에서 반복해서 같은 지점에서 멈췄다. 드림월드와 장대 푸르지오가 있는 생활권에서 자주 접할 법한 할인과 이용료 상황을 소재로 만든 문제였다.

어떤 체험권의 기본 요금은 5,000원이고, 추가 이용 1회마다 1,200원이 붙는다. 단, 추가 이용이 3회 이하이면 별도의 할인은 없고, 4회 이상이면 전체 금액에서 2,000원을 뺀다. 추가 이용 횟수를 x회라 할 때, x회 이용한 금액을 일차식으로 나타내어라.

학생은 문제를 읽자마자 공책에 5000+1200x-2000을 적었다. 기본 요금과 추가 요금은 바로 식으로 옮겼지만, ‘4회 이상이면’이라는 조건은 표시하지 않았다. 이어서 x에 2를 대입해 5,400원이라고 계산했고, 2회 이용에도 할인된 식을 적용한 결과가 이상하다는 것을 확인했다.

식이 어긋난 최초의 판단

계산 실수보다 먼저 생긴 문제는 조건의 적용 범위를 읽지 않은 것이었다. 학생은 ‘할인 2,000원’이라는 정보를 발견하자마자 모든 경우에 붙이는 항으로 처리했다. 따라서 3회 이하와 4회 이상을 나누어야 한다는 문장의 경계를 식에 반영하지 못했다.

공책의 식 옆에 학생이 적은 메모는 “할인은 항상 적용?”이었다. 이 물음에 답하려고 문제 문장에서 3회 이하와 4회 이상을 각각 동그라미로 표시했다. 그런 다음 x가 어느 범위에 있는지 먼저 판단한 뒤 식을 정하기로 했다.

조건을 먼저 세운 뒤 식을 다시 만들기

교정은 이미 맞게 옮긴 기본 요금과 추가 요금 부분을 그대로 두고, 조건에 따라 마지막 항만 달리하는 방식으로 진행했다.

• x가 3 이하이면 기본 요금 5,000원에 1,200x원을 더하므로 5,000+1,200x이다.
• x가 4 이상이면 위 금액에서 2,000원을 빼므로 5,000+1,200x-2,000이다.

학생은 두 식을 나란히 쓴 뒤 x=2를 첫 번째 식에 넣어 5,000+2,400=7,400원으로 계산했다. x=4는 두 번째 식에 넣어 5,000+4,800-2,000=7,800원으로 정리했다. 숫자를 대입하기 전에 조건을 확인하자 같은 할인 항이라도 적용되는 범위가 달라진다는 점이 식에 드러났다.

문장 대신 괄호와 표로 제시된 조건

다음 문제에서는 표현을 바꾸었다. “기본 금액에 횟수당 900원을 더한 뒤, 이용 횟수가 5회 이상이면 1,500원을 감면한다”는 문장을 긴 설명으로 주지 않고 아래처럼 제시했다.

• 이용 횟수: x회
• 기본 금액과 횟수 요금: 3,000+900x
• x<5: 감면 없음
• x≥5: 1,500원 감면

학생은 표의 순서를 그대로 계산하지 않고, 먼저 경계값 5를 표시했다. x가 4일 때는 3,000+900×4를 쓰고, x가 5일 때는 (3,000+900×5)-1,500을 썼다. 괄호를 사용한 이유도 “감면은 기본 금액과 횟수 요금을 합친 전체에서 이루어지기 때문”이라고 설명했다. 단순히 숫자만 바꾼 문제가 아니라 문장식과 괄호식으로 표현이 달라졌지만, 조건에 따라 항의 부호와 포함 여부를 판단하는 과정은 같았다.

힌트 없이 다시 세운 풀이

수업 끝부분에는 보기와 표시를 모두 없애고 다음 문장만 제시했다.

한 묶음에 2,400원인 재료를 x묶음 사고 포장비 800원을 더한다. 6묶음 이상이면 전체 금액에서 1,000원을 할인할 때, 6묶음의 금액을 일차식으로 나타내고 계산 과정을 설명하여라.

학생은 먼저 “재료값은 2,400x, 포장비는 +800”이라고 적었다. 이어 “6묶음 이상이므로 할인 항 -1,000을 붙인다”고 조건을 말한 뒤 2,400x+800-1,000을 세웠다. x=6을 대입해 14,400+800-1,000=14,200원이라고 계산했다.

마지막으로 할인 전 금액 15,200원에서 1,000원을 뺀 값과 식의 결과가 같은지 확인했다. 학생은 “먼저 문자에 해당하는 값과 고정된 값을 구분하고, 경계 조건이 포함되는지 확인한 뒤 항을 붙였다. 그래서 이번에는 할인 항을 모든 경우에 넣지 않았다”고 풀이 근거를 한 줄로 정리했다. 장대동중1수학과외에서 확인한 변화는 정답 자체보다, 문장의 조건을 읽고 그 조건에 맞는 일차식을 스스로 다시 세운 데 있었다.