반석동 중3수학과외

반석동 생활권에서 살펴본 넓이식의 인수분해

반석마을 7단지와 반석더샵이 있는 반석동 생활권에서 중3수학과외 수업을 진행하다 보면, 도형의 넓이를 식으로 옮긴 뒤 그 식을 인수분해하는 과정에서 풀이가 갈리는 경우가 있습니다. 대전외삼중학교가 포함된 생활권의 한 단원평가 대비 시간에도 비슷한 장면이 있었습니다. 이번 반석동과외에서는 넓이 자체를 새로 구하는 데 집중하기보다, 이미 나타난 넓이식을 어떤 곱의 형태로 바꿀지에 초점을 맞췄습니다.

두 넓이 표현 사이에서 멈춘 지점

문제에는 가로가 x+4, 세로가 x+7인 직사각형에서 일부를 잘라 낸 넓이가 다음과 같이 제시되어 있었습니다.

(x+4)(x+7)-3(x+7)

학생은 두 넓이 표현을 나란히 적은 뒤 먼저 전개했습니다.

(x+4)(x+7)-3(x+7)
= x²+11x+28-3x-21
= x²+8x+7

여기까지의 계산은 맞았습니다. 이어서 학생은 넓이식이므로 양의 항이 나와야 한다고 생각하고, 곱이 7이고 합이 8인 두 수를 찾았습니다. 그래서

x²+8x+7=(x+1)(x+7)

이라고 썼습니다. 결과 역시 맞지만, 이 문제에서 중요한 판단은 전개 뒤의 두 수를 찾는 것보다 처음 두 항에 반복되는 넓이 요소를 확인하는 일이었습니다. 학생의 기록을 다시 살펴보니, 표현이 바뀌자 ‘곱이 7, 합이 8’이라는 조건 하나만 먼저 맞추려 했습니다.

넓이식에서 먼저 남겨야 할 공통 부분

최초로 어긋난 지점은 계산이 아니라 공통인수를 확인하기 전에 인수를 선택한 것이었습니다. 두 항을 다시 보면

(x+4)(x+7)-3(x+7)

에서 두 항 모두 x+7을 포함합니다. 이 공통 관계를 먼저 표시하면 식은 다음처럼 바로 바뀝니다.

(x+7){(x+4)-3}=(x+7)(x+1)

이번에는 공통인수와 괄호 안의 차를 함께 확인했습니다. ‘공통으로 묶이는가’, ‘괄호 안의 두 항이 원래 계수와 부호를 유지하는가’를 나누어 적고, 조건을 모두 만족하는 인수만 남겼습니다. 앞서 맞았던 전개 계산을 버리지 않고, 그보다 앞선 선택 기준 하나만 고친 것입니다.

모양이 달라진 넓이 관계에 적용하기

다음 문제는 같은 숫자를 바꾼 반복이 아니었습니다. 넓이식이 이미 전개된 형태로 제시되고, 뺄셈 항의 순서도 달랐습니다.

직사각형 모양의 넓이 차가
y²-5y-24
로 나타날 때, 이를 두 길이의 곱으로 나타내어라.

학생은 먼저 y²의 계수가 1이므로 두 괄호의 첫 항을 y로 두고, 상수항 -24와 가운데항 -5y를 함께 살폈습니다. 곱이 -24가 되려면 부호가 서로 달라야 하고, 합이 -5가 되려면 절댓값이 큰 수에 음의 부호가 붙어야 합니다. 따라서 3과 -8을 선택하여

y²-5y-24=(y+3)(y-8)

으로 정리했습니다. 이전 문제의 x+7을 그대로 가져오지 않았고, 이번에는 공통인수가 먼저 보이는 배열이 아니라 곱과 합, 부호를 동시에 확인해야 하는 표현이었습니다. 이는 넓이 관계를 곱의 형태로 바꾸되, 식에 실제로 나타난 부호와 항의 관계를 유지한 풀이입니다.

힌트 없이 다시 확인한 한 줄

마지막에는 풀이 안내 없이 다음 식을 제시했습니다.

z²+2z-35

학생은 곧바로 숫자를 찍지 않고, 두 인수의 곱이 -35이고 합이 2여야 한다고 설명했습니다. 7과 -5를 선택하여

z²+2z-35=(z+7)(z-5)

으로 쓴 뒤, 검산을 위해 다시 전개했습니다.

(z+7)(z-5)=z²-5z+7z-35=z²+2z-35

최종적으로 가운데항이 2z, 상수항이 -35로 원래 식과 같음을 말했습니다. 넓이식을 인수분해할 때 공통으로 묶이는 부분이 있는지, 또는 두 인수의 곱·합·부호가 모두 맞는지를 스스로 선택하고, 결과를 전개해 원식과 비교한 장면입니다.