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반석동 고2수학과외

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그래프의 시작점에서 확인하는 부호

학생의 풀이 기록에는 “-2cos x2cos x를 오른쪽으로 이동한 그래프”라고 적혀 있었다. 하지만 계수의 음수는 수평이동이 아니라 함수값의 부호를 바꾸는 상하 반사를 뜻한다.

한 점의 함수값부터 확인하기

f(x)=-2cos x에서 x=0을 대입하면

f(0)=-2cos 0=-2

따라서 그래프는 원점이 아니라 점 (0,-2)를 지난다. 반면 y=2cos x(0,2)를 지나므로 두 그래프는 서로 x축 대칭이다.

기본 그래프와 비교하기

함수x=0에서의 값최댓값최솟값
y=2cos x22-2
y=-2cos x-22-2

두 함수의 진폭은 모두 2이고 주기는 모두 이다. 달라지는 것은 그래프의 위아래 방향이다. cos x의 기본 그래프가 (0,1)에서 시작한다면, -2cos x는 이를 x축에 대해 반사한 뒤 세로로 2배 늘린 그래프이다.

변형된 조건의 경계값

예를 들어 -2cos x≤0을 만족하는 구간을 찾을 때는

-2cos x≤0 ⇔ cos x≥0

이므로 한 주기 0≤x≤2π에서 해는

0≤x≤π/2 또는 3π/2≤x≤2π

이다. 음수 계수를 보고 그래프를 수평으로 옮기면 부등식의 방향과 구간을 잘못 판단하게 된다.

최종 확인

x=π에서 -2cos π=2이므로 그래프는 (π,2)를 지난다. 시작점에서는 아래쪽, 반 주기 뒤에는 위쪽에 있어야 하므로 상하 반사된 그래프가 정답이다.

반석동에서 대전과외를 통해 삼각함수 그래프를 점검할 때도 먼저 x=0의 함수값, 진폭, 주기를 차례로 확인하면 음수 계수와 수평이동을 혼동하지 않을 수 있다.

반석동 고2수학과외 학부모 후기

시험 결과를 가족에게 보여준 뒤라 그런지, 아이가 문제를 풀고 나서 답만 확인하지 않고 단위와 범위를 먼저 살피더라고요. 결과지를 설명할 때도 그 문제를 다시 펼쳐 놓고, 자신이 적은 답이 문제에서 요구한 데까지 맞는지 눈으로 따라가고 있었습니다. 반석동 수학과외 후기를 찾아보며 들었던 이야기와는 별개로, 집에서 실제로 보인 장면이라 저도 유심히 보게 됐어요. 예전 복습 때는 어디에서 막혔는지, 어떤 부분을 잘못했는지 한곳으로 좁히지 못하고 풀이 전체를 다시 보곤 했거든요. 그런데 이번에는 답을 적은 뒤 조건이나 범위가 빠지지 않았는지부터 확인했어요. 새로운 수행평가 대본을 받았을 때도 답에 해당하는 부분을 살핀 다음, 조건을 놓치지 않았는지 확인하고 다음에 바로 이어서 볼 위치까지 표시해 두었습니다.

★★★★☆학부모 후기

공부 계획표를 새로 적던 날, 지나가다 아이 책상 위를 보게 됐어요. 문제를 그냥 넘긴 게 아니라 숫자 몇 개를 가려 놓고 같은 문제를 다시 풀고 있더라고요. 답을 외워서 쓰는 건지, 숫자가 달라져도 같은 판단을 할 수 있는지 확인하는 모습처럼 보이더라고요. 예전에는 공부를 마치면 풀이를 한 번 더 들여다보는 일이 거의 없었거든요. 그런데 이번에는 이미 풀었던 문제를 그대로 두지 않고, 숫자 부분을 가린 뒤 다시 계산해 보고 있었습니다. 반석동 수학과외 이야기를 나누던 때와는 별개로 집에서 이런 장면을 보니 조금 낯설기도 했어요. 모의고사 해설을 펼치기 전에도 같은 방식으로 숫자를 가려 문제를 다시 풀었어요. 그리고 확인한 부분을 자료에 따로 남겨 두었더라고요. 해설부터 찾아본 게 아니라 자기 풀이를 먼저 다시 짚어 본 점이 눈에 띄었습니다.

★★★★☆학부모 후기

반석동에서 수학 과외를 시작한 뒤, 아이가 평소보다 어려운 문제를 만난 날에도 수업이 끝나자 틀린 문제를 다시 펼쳐보는 모습이 눈에 띄었습니다. 예전에는 표시만 해두고 미루기 일쑤였는데, 선생님이 집중이 흐트러질 때마다 설명을 반복하기보다 다른 문제로 자연스럽게 전환해 부담을 덜어주셨다고 합니다. 시험 범위를 받은 뒤에도 숙제를 한꺼번에 넘기지 않고 복습할 부분을 나눠 챙겨 주셔서 수학을 시작하는 마음이 조금 편해졌습니다.

★★★★★학부모 후기

예전에는 숙제를 시작하는 것부터 미루던 아이가 요즘은 반석동 수업 전에 모르는 문제를 따로 표시해 둡니다. 선생님께서는 틀린 부분을 바로 지적하기보다 아이가 어디서 막혔는지 차분히 물어봐 주셔서, 수업 중 궁금한 내용을 먼저 말하는 모습이 늘었습니다.

★★★★★학부모 후기

반석동에서 수학 과외를 시작할 때만 해도 공부 계획을 세우고도 미루기 일쑤였고, 틀린 이유보다 답부터 맞는지 확인하기 바빴습니다. 선생님은 쉬운 문제부터 다시 풀게 하며 집중이 흐려지면 설명을 반복하기보다 다른 문제나 활동으로 바꿔 주셨고, 시험 범위를 절반쯤 공부했을 때는 제가 질문을 적어 가는 모습도 생겼습니다. 요즘은 숙제를 시작하는 부담이 전보다 줄었다는 게 가장 크게 느껴집니다.

★★★★☆학부모 후기