반석동 고2수학과외







그래프의 시작점에서 확인하는 부호
학생의 풀이 기록에는 “-2cos x는 2cos x를 오른쪽으로 이동한 그래프”라고 적혀 있었다. 하지만 계수의 음수는 수평이동이 아니라 함수값의 부호를 바꾸는 상하 반사를 뜻한다.
한 점의 함수값부터 확인하기
f(x)=-2cos x에서 x=0을 대입하면
f(0)=-2cos 0=-2
따라서 그래프는 원점이 아니라 점 (0,-2)를 지난다. 반면 y=2cos x는 (0,2)를 지나므로 두 그래프는 서로 x축 대칭이다.
기본 그래프와 비교하기
| 함수 | x=0에서의 값 | 최댓값 | 최솟값 |
|---|---|---|---|
| y=2cos x | 2 | 2 | -2 |
| y=-2cos x | -2 | 2 | -2 |
두 함수의 진폭은 모두 2이고 주기는 모두 2π이다. 달라지는 것은 그래프의 위아래 방향이다. cos x의 기본 그래프가 (0,1)에서 시작한다면, -2cos x는 이를 x축에 대해 반사한 뒤 세로로 2배 늘린 그래프이다.
변형된 조건의 경계값
예를 들어 -2cos x≤0을 만족하는 구간을 찾을 때는
-2cos x≤0 ⇔ cos x≥0
이므로 한 주기 0≤x≤2π에서 해는
0≤x≤π/2 또는 3π/2≤x≤2π
이다. 음수 계수를 보고 그래프를 수평으로 옮기면 부등식의 방향과 구간을 잘못 판단하게 된다.
최종 확인
x=π에서 -2cos π=2이므로 그래프는 (π,2)를 지난다. 시작점에서는 아래쪽, 반 주기 뒤에는 위쪽에 있어야 하므로 상하 반사된 그래프가 정답이다.
반석동에서 대전과외를 통해 삼각함수 그래프를 점검할 때도 먼저 x=0의 함수값, 진폭, 주기를 차례로 확인하면 음수 계수와 수평이동을 혼동하지 않을 수 있다.