반석동 고3수학과외

그래프와 식이 바뀐 순간, 경계점에서 다시 시작한 미분 판단

반석마을 7단지와 반석더샵이 있는 반석동 생활권에서 고3 수학을 지도하던 중, 한 학생의 풀이 한 줄이 눈에 들어왔다. 문제는 다음과 같은 함수가 연속이고 미분 가능하도록 상수 a, b를 정하는 내용이었다.

f(x) = x² (x<1),　ax+b (x≥1)

학생은 먼저 왼쪽 식을 미분해 기울기 2를 구한 뒤, 오른쪽 식의 기울기에도 그대로 2를 적었다. 이어 그래프에 표시된 경계점의 높이를 대략 맞춰 보며 b=-1을 썼다. 답 자체는 우연히 맞았지만, 식이 그래프로 바뀌거나 표로 제시되면 같은 순서를 복사할 위험이 컸다. 특히 ‘기울기의 부호가 바뀌는가’와 ‘경계점에서 미분 가능한가’를 하나의 판단처럼 처리하고 있었다.

오답의 시작점을 거꾸로 찾다

풀이 전체를 다시 계산하지 않고, 오류가 시작된 줄만 표시하게 했다. 학생이 놓친 것은 미분 계산이 아니라 경계점에서 확인해야 할 두 관계를 분리하지 않은 일이었다. 연속은 양쪽에서 다가간 값과 함수값을 비교하는 조건이고, 미분 가능성은 좌우 미분계수가 같은지 보는 조건이다.

따라서 먼저 연속 조건을 경계점 옆에 적었다.

f(1)=a+b=1

그다음에야 좌우 기울기를 따로 놓았다. 왼쪽 미분계수는 2x이므로 x=1에서 2이고, 오른쪽 미분계수는 a이다. 미분 가능하려면 a=2여야 하므로 연속 조건에 대입해 b=-1을 얻는다. 경계점의 높이와 기울기를 한 줄에 섞지 않는 것이 교정의 전부였다.

그래프의 모양도 함께 대조했다. x²의 오른쪽 끝점 높이는 1이고, 2x-1도 x=1에서 1이므로 끊어지지 않는다. 두 식의 접선 기울기도 모두 2다. 반면 함수가 증가하다가 감소하는지 여부는 미분계수의 부호 문제이므로, 연속·미분 가능성과는 별도로 살펴야 한다.

표로 바뀌어도 같은 관계를 세우는가

다음 날에는 식을 바로 주지 않고, 경계점 전후의 변화율을 표로 제시했다. 구간별 함수가

g(x)=3-x (x≤2),　cx+d (x>2)

이고, g가 x=2에서 연속이며 미분 가능하다는 조건이었다. 학생은 이번에는 그래프의 모양을 먼저 추측하지 않았다. 표의 왼쪽 변화율에서 기울기 -1을 읽고, 오른쪽 변화율을 c로 놓았다. 미분 가능성으로 c=-1을 정한 뒤, 경계점의 함수값 g(2)=1과 오른쪽 식의 극한 2c+d를 같게 두어 d=3을 구했다.

이 문제는 앞선 식의 숫자만 바꾼 반복이 아니었다. 경계 포함 구간의 방향과 자료 제시 방식이 달랐기 때문에, 학생이 ‘왼쪽 값과 오른쪽 값의 일치’ 및 ‘좌우 기울기의 일치’를 새로 세우는지 확인할 수 있었다. 그는 각 후보를 구한 뒤 원래 식에 다시 넣어 경계점의 값이 1로 맞는지도 확인했다.

부호 변화와 경계 조건을 분리한 최종 확인

마지막 검증에서는 식 대신 그래프를 보여 주고, 한 점에서 연속인지, 미분 가능한지, 그 점을 기준으로 증가·감소가 바뀌는지를 각각 판단하게 했다. 학생은 먼저 그래프의 좌우 높이가 같은지 확인하고, 이어 왼쪽과 오른쪽 접선의 기울기를 따로 읽었다. 꼭짓점처럼 기울기의 부호가 음수에서 양수로 바뀌는 경우에는 연속일 수 있지만, 좌우 기울기가 다르면 미분 가능하지 않다고 설명했다.

답을 고르는 데서 멈추지 않고, “경계점의 함수값은 어느 식으로 정해지는가”, “좌우 기울기는 같은가”, “부호 변화는 별도의 결론인가”를 순서대로 말하게 했다. 다음 날 무표시 재풀이에서도 학생은 식·그래프·표 중 어떤 형식이 나와도 경계값, 좌우극한, 좌우 미분계수를 분리해 기록했다. 반석동과외 수업에서 확인한 변화는 계산 속도가 아니라, 표현이 달라져도 첫 판단의 근거를 다시 세우는 습관이었다.