반석동 중2수학과외
분수식이 있는 일차부등식, 경계값을 놓치지 않는 풀이
반석동과외 수업에서 학생은 분수가 포함된 일차부등식을 풀며 계산 자체보다 부등호의 범위를 결정하는 순간에 자주 멈췄다. 반석마을 7단지와 아가랑도서관이 있는 생활권에서 접할 수 있는 중학교 학습 사례처럼, 문제의 숫자보다 식의 형태가 바뀌었을 때 같은 판단을 유지하는 것이 이번 학습의 중심이었다. 대전외삼중학교가 포함된 생활권의 중2수학과외에서도 자주 만나는 유형이지만, 학교별 출제 경향을 전제로 하지 않고 한 학생의 풀이 과정을 따라가 보았다.
첫 줄에서 드러난 선택
학생은 다음 부등식을 보고 식의 양변에 6을 곱하려고 했다.
frac{2x-1}{3} - 1 ≤ frac{x+2}{2}
학생은 분모 3과 2를 보고 최소공배수 6을 찾은 뒤, 왼쪽의 분수 두 항에는 6을 곱하면서 오른쪽의 분수에는 아직 계산할 필요가 없다고 표시했다. 이어서 왼쪽을 2(2x-1)-6으로 적고, 오른쪽은 (x+2)/2인 채 보류했다. 이때 부등호 방향은 그대로 두었다.
풀이가 어긋난 최초의 판단은 계산 결과가 아니라 분모를 없애는 수를 식 전체가 아닌 일부 항에만 적용해도 된다고 본 것이었다. 분모를 없애는 과정은 눈에 띄는 분수만 처리하는 절차가 아니라, 부등식의 양변 모든 항에 같은 양수를 곱하는 변형이어야 한다. 양수 6을 곱하므로 부등호 방향은 그대로라는 점은 학생이 이미 맞게 판단했으므로 유지했다.
한 줄만 바로잡아 원래 풀이를 살리기
학생은 식 전체에 6을 곱하는 표시를 괄호로 다시 했다.
6{(2x-1)/3 - 1} ≤ 6{(x+2)/2}
그다음 각 항에 6을 나누어 곱해 2(2x-1)-6 ≤ 3(x+2)로 바꾸었다. 정리하면 4x-8 ≤ 3x+6, 따라서 x ≤ 14가 된다. 여기서 교정은 여러 풀이법을 새로 추가한 것이 아니라, 처음에 찾은 6을 식 전체에 적용하도록 한 가지 판단만 고친 것이다.
학생은 14를 바로 답으로 적지 않고 경계값을 따로 네모 표시했다. 원래 식에 x=14를 넣으면 (28-1)/3-1=8, (14+2)/2=8이므로 등호가 성립한다. 따라서 14는 제외할 값이 아니라 포함되는 값이며, 해가 x≤14라는 결론도 확인된다. 15를 넣으면 왼쪽이 29/3-1, 오른쪽이 17/2가 되어 부등식이 성립하지 않는다고 계산해 범위 바깥도 점검했다.
표현을 바꾼 문제에서 관계를 다시 세우기
다음 문제에서는 식을 바로 제시하지 않고 문장과 표로 조건을 바꾸었다.
어떤 수 x의 3분의 2에서 1을 뺀 값은, x에 2를 더한 수의 2분의 1보다 작거나 같다.
학생은 문장의 앞부분을 (2x/3)-1, 뒷부분을 (x+2)/2로 나누어 적었다. 이번에는 양변에 6을 곱하기 전에 각 항 아래에 ‘6을 곱함’이라고 표시했다. 식 전체를 정리해 4x-6≤3x+6, 즉 x≤12를 얻었다.
또 다른 카드에는 x=12일 때 왼쪽과 오른쪽의 값이 같고, x=13일 때 왼쪽이 더 커진다는 표가 있었다. 학생은 표의 두 행을 식에 대입해 경계에서 포함되고 경계 바깥에서 조건이 깨지는 것을 설명했다. 숫자 배열을 기억해 푼 것이 아니라, 문장을 부등식으로 옮긴 뒤 분모의 공통 배수를 양변 전체에 적용하고 경계값을 확인하는 관계를 다시 사용한 것이다.
힌트 없이 확인한 마지막 풀이
수업 끝에 학생에게 다음 조건만 제시했다.
어떤 수의 5분의 3에서 2를 뺀 값이 그 수에서 1을 뺀 값의 2분의 1보다 크거나 같다.
학생은 먼저 (3x/5)-2≥(x-1)/2라고 적었다. 이어 5와 2의 공통 배수 10을 식 전체에 곱한다고 말하고, 6x-20≥5x-5로 정리해 x≥15를 얻었다. 부등호가 바뀌지 않은 이유는 양수 10을 곱했기 때문이라고 스스로 설명했다.
학생은 경계값 15를 원래 식에 넣어 9-2와 7을 비교해 등호가 성립함을 확인했다. 범위 안의 16에서는 왼쪽이 38/5, 오른쪽이 15/2라서 조건이 성립하고, 범위 밖의 14에서는 왼쪽이 32/5, 오른쪽이 13/2라서 성립하지 않는다고 검산했다. 도움 없이 첫 판단, 식 변형의 이유, 경계 포함 여부와 양쪽 검산까지 이어졌다는 점에서 분모를 없애는 판단이 새로운 표현에서도 재현되었다. 반석동중2수학과외에서 확인할 수 있는 의미 있는 변화는 정답보다 이 설명의 순서에 있었다.