반석동 고1수학과외







반석동 고1수학과외, 합성함수에서 중간식의 부호를 지킨 사례
반석동의 한 고1 학생은 합성함수 문제에서 함수의 뜻은 알고 있었지만, 중간식의 부호를 정리하는 순간 풀이가 흔들렸다. 문제는 f(x)=x+2, g(x)=1-2x일 때 f(g(x))를 구하는 것이었다.
계산보다 먼저 무너진 중간식
학생은 g(x)를 f의 입력 자리에 넣어야 한다는 점은 알고 있었다. 그러나 f(g(x))=g(x)+2를 적은 뒤, (1-2x)+2에서 부호를 제대로 유지하지 못하고 1+2x+2로 바꾸었다. 그 결과 답을 2x+3이라고 제시했다.
합성함수의 오류가 함수의 대응 관계를 몰라서 생긴 것인지, 중간식의 부호를 옮기는 과정에서 생긴 것인지 구분할 필요가 있었다.
그래프의 이동 방향으로 부호를 다시 확인하다
풀이를 고칠 때는 계산을 여러 번 반복하지 않고, 중간 함수 g(x)=1-2x를 그대로 한 줄에 보존하게 했다. 이어서 f는 입력값에 2를 더하는 함수이므로, g의 출력에 2가 더해져야 한다는 점을 그래프의 세로 이동 방향과 연결했다.
따라서
f(g(x))=(1-2x)+2=3-2x
가 된다. 학생은 부호를 바꾸어 적은 시점이 함수 합성 자체가 아니라 중간식 정리 단계였음을 찾아냈다.
합성 순서를 바꾸자 달라진 식
같은 숫자를 반복하지 않고, 이번에는 표현의 방향을 바꾸어 g(f(x))를 구하게 했다. 먼저 f(x)를 입력 자리에 넣으면
g(f(x))=1-2(x+2)=-2x-3
이다. 학생은 괄호 앞의 -2가 안쪽의 모든 항에 곱해진다는 점을 표시하며, f(g(x))와 g(f(x))의 결과가 다를 수 있음을 확인했다.
- f(g(x))=3-2x
- g(f(x))=-2x-3
처음 보는 식에서 대응 관계를 검증하다
마지막에는 f(x)=2x-1, g(x)=4-x가 주어졌을 때 f(g(3))을 계산하게 했다. 학생은 먼저 g(3)=1을 구한 뒤 f(1)=1로 연결했다. 이후 합성식을 한 번에 쓰면 f(g(x))=2(4-x)-1=7-2x이고, x=3을 대입해도 1이 되어 두 방식이 일치함을 확인했다.
반석동 고1수학과외에서는 이처럼 합성함수의 순서를 외우게 하기보다, 중간식의 부호와 입력·출력의 이동을 분리해 기록하도록 지도했다.
끝내지 못한 문제집이 쌓일 때
새 책을 시작하기 전에 지금 교재에서 남은 범위를 펼쳐 보세요. 어려워서 멈춘 부분과 일정 때문에 미룬 부분은 처리 방법이 다릅니다. 전자는 질문할 문제를 추리고, 후자는 이번 주에 끝낼 작은 범위를 정하면 교재를 바꾸기 전에 해결할 일이 보입니다.
질문이 많아서 수업 중 다 묻기 어려울 때
같은 이유로 막힌 문제를 묶고 대표 문제를 하나씩 골라 보세요. 예를 들어 식을 세우지 못한 문제와 계산 중 부호가 달라진 문제를 구분하면 필요한 설명도 나뉩니다. 모든 문제의 해설을 차례로 듣기 전에 여러 질문에 공통으로 걸린 부분이 있는지 확인할 수 있습니다.
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고등 수학
현재 수강 과목과 시험 범위를 먼저 확인하고 개념, 식의 변형, 함수와 그래프, 문제 조건의 해석을 연결합니다. 선택 과목은 실제 이수 범위에 맞춰 준비하며 내신 답안과 모의고사 풀이 시간은 구분해 점검합니다.
고1 점검 기준
현재 공통 과목의 진도와 첫 내신 답안을 기준으로 설명할 수 있는 개념과 적용이 어려운 부분을 구분합니다.
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x² + 5x + 6을 (x + 2)(x + 3)으로 인수분해한 뒤 직접 전개해 원래 식이 되는지 확인합니다. 방정식으로 풀 때와 단순히 식을 변형할 때의 목적도 구분합니다.
조건 때문에 제외되는 값 찾기
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