학성동 중3수학과외

학성동 중3수학과외, 식과 그래프를 연결한 한 장면

학성동과외 수업에서 섬강중학교, 버들중학교, 반곡중학교, 남원주중학교, 단구중학교가 포함된 생활권의 학습 사례를 살펴보며, 이번에는 이차함수의 식에 점의 좌표를 대입하는 한 가지 기준만 다뤘습니다.

채점지에 남은 두 줄의 풀이

학생은 다음 문제를 풀었습니다.

이차함수 y=x²-4x+3의 그래프 위에 점 A(1, 0)이 있는지 확인하여라.

학생의 풀이 기록에는 다음과 같이 적혀 있었습니다.

그래프는 아래로 휘어 있고, x=1 근처에서 x축 아래에 있으므로 A(1, 0)은 그래프 위에 있다.

따라서 점 A는 그래프 위에 있다.

채점 직후 학생은 식과 그래프 정보를 나란히 놓았습니다. 식에서는 x=1일 때 y가 얼마인지를 확인해야 하고, 그래프에서는 그 결과로 얻은 좌표가 표시된 점과 일치하는지를 확인해야 한다는 점을 말했습니다. 즉, 두 표현에서 직접 대응하는 대상은 그래프의 인상적인 모양이 아니라 x좌표를 넣었을 때 나오는 y좌표였습니다.

모양을 먼저 믿은 순간

풀이가 어긋난 최초의 지점은 계산 결과가 아니라, 식에 대입하기 전에 그래프의 모양만 보고 점의 위치를 단정한 판단이었습니다. 이차함수 그래프가 위로 열린 것인지 아래로 열린 것인지는 이 문제에서 점 A(1, 0)가 식을 만족하는지 바로 알려 주지 않습니다. 특히 그림이 정확한 눈금 없이 제시되면 x=1에서의 높이를 눈대중으로 정할 수 없습니다.

이제 처음 식에 x=1을 직접 넣었습니다.

y=1²-4×1+3=1-4+3=0

계산 결과 y=0이므로 식에서 x=1에 대응하는 좌표는 (1, 0)입니다. 학생이 이미 정확히 계산한 1²=1과 1-4+3=0은 그대로 유지하고, 그래프 모양으로 결론을 내리기 전에 식에 좌표를 대입하는 행동 하나만 바꾸었습니다. 그래프 위의 점인지 묻는 문제는 결국 그 점의 x좌표와 y좌표가 식을 만족하는지 확인하는 문제로 연결됩니다.

표로 바뀌어도 같은 대응을 찾기

다음 시간에는 배열을 바꾼 문제를 제시했습니다. 이번에는 식과 그림을 바로 보여 주지 않고 표의 일부를 채우게 했습니다.

이차함수 y=-x²+2x+3에서 x=-1일 때의 y값을 구하고, 표의 빈칸에 알맞은 점을 쓰시오.

x	-1	2
y	□	3

학생은 먼저 x=-1을 식에 넣었습니다.

y=-(-1)²+2(-1)+3=-1-2+3=0

그래서 빈칸에는 0을 쓰고, 표에서 대응하는 점을 (-1, 0)이라고 적었습니다. 앞 문제의 숫자만 바꾼 반복이 아니라, 이번에는 표의 빈칸과 좌표를 연결해야 했지만 판단 기준은 같았습니다. x값을 식에 대입해 얻은 y값이 표의 대응 위치에 들어가며, 그 두 값을 순서대로 묶어 점을 나타냈습니다. 표에 이미 있는 x=2, y=3을 근거 없이 바꾸거나 그래프의 기울어진 모양을 상상하지도 않았습니다.

힌트 없이 확인한 마지막 문제

마무리에서는 식을 먼저 계산하라는 안내 없이 다음 문제만 건넸습니다.

점 B(3, -2)가 이차함수 y=x²-5x+4의 그래프 위에 있는지 판단하고, 판단 근거를 한 줄로 쓰시오.

학생은 잠시 그래프를 그리지 않고 곧바로 점의 첫 번째 좌표 3을 식에 넣었습니다.

y=3²-5×3+4=9-15+4=-2

x=3일 때 y=-2이므로 B(3, -2)는 이차함수의 그래프 위에 있다.

마지막에는 답만 적지 않고, 구한 y값 -2가 문제의 점 B가 가진 두 번째 좌표 -2와 같다는 점을 검산 근거로 덧붙였습니다. 학성동중3수학과외에서 확인한 변화도 여기에 있습니다. 식, 표, 그래프 중 어떤 표현이 먼저 나오더라도 모양이나 배치를 추측하지 않고, 주어진 점의 x좌표를 식에 대입한 뒤 y좌표와 직접 비교하는 기준을 스스로 선택했습니다.