학성동 중1수학과외

좌표의 순서가 바뀌면 사분면도 달라진다

문제는 점의 위치를 설명한 문장을 순서쌍으로 바꾸고, 그 점이 어느 사분면에 있는지 판단하는 내용이었다. 학성동과외 수업에서 학생은 새로운 표현을 만났을 때도 좌표의 뜻을 놓치지 않는 것을 목표로 풀이를 이어 갔다.

잘못된 판단은 첫 번째 숫자를 고르는 순간 시작됐다

문제에는 “점 P는 원점에서 오른쪽으로 4만큼, 위쪽으로 2만큼 이동한 위치에 있다”라고 쓰여 있었다. 학생은 공책에 P(2, 4)라고 적은 뒤, 두 수가 모두 양수이므로 제1사분면이라고 답했다. 사분면 판단 자체는 맞았지만, 순서쌍을 만드는 첫 단계에서 가로 방향과 세로 방향을 뒤바꾼 것이다.

학생이 이전에 풀었던 문제의 모양을 그대로 따라 하면서, 문장에 나온 숫자의 순서만 보고 괄호 안에 옮긴 것이 최초의 어긋난 판단이었다. 좌표에서는 숫자의 크기보다 먼저 어떤 수가 가로 위치를 나타내는지 확인해야 한다.

가로와 세로를 표시해 순서를 되돌리다

교정할 때 풀이 전체를 다시 지우지는 않았다. 학생이 적어 둔 양의 부호 판단은 그대로 두고, 문장에 선을 그어 “오른쪽 4”에는 x, “위쪽 2”에는 y를 표시했다. 따라서 점 P의 좌표는 (4, 2)라고 고쳤다. 이어서 좌표평면에 원점을 찍고, x축에서 오른쪽으로 4만큼 이동한 뒤 y축 방향으로 위쪽 2만큼 올라가 점 P를 표시했다.

그림에서 점이 오른쪽 위에 있으므로 x좌표와 y좌표가 모두 양수라는 사실도 함께 확인했다. 이처럼 순서쌍을 먼저 (x좌표, y좌표)로 읽고 부호를 연결하면, 제1사분면이라는 결론이 좌표와 그림에서 동시에 확인된다.

문장이 표로 바뀌어도 같은 기준을 적용하다

다음 문제는 설명문이 아니라 표로 제시되었다.

• 점 Q의 x좌표: -3
• 점 Q의 y좌표: 5
• 점 Q가 있는 사분면: 빈칸

학생은 표의 세 번째 칸을 바로 채우지 않고, 먼저 두 값을 괄호 안에 옮겨 Q(-3, 5)라고 썼다. x좌표가 음수이므로 원점에서 왼쪽, y좌표가 양수이므로 위쪽에 점을 찍었다. 점의 위치는 왼쪽 위이므로 제2사분면이라고 적었다. 문장, 표, 좌표평면이라는 표현은 달랐지만, x좌표를 먼저 읽고 y좌표를 다음에 읽은 뒤 각 부호를 위치로 바꾸는 과정은 같았다.

수업 중간에는 질문의 방향도 바꾸었다. “제3사분면에 있는 점 R의 좌표가 될 수 있는 것은 무엇인가?”라는 물음에 학생은 먼저 제3사분면의 위치를 말로 설명했다. 원점의 왼쪽 아래이므로 x좌표와 y좌표가 모두 음수여야 한다고 정리한 뒤, 보기 중 (-2, -6)만 골랐다. (-6, -2)도 제3사분면에 있을 수 있지만, 두 좌표의 값이 특정되어 있지 않은 선택 문제라면 둘 다 조건에 맞는지 살펴야 한다고 덧붙였다. 단순히 보기의 모양을 복사하지 않고 사분면의 조건을 좌표에 적용한 장면이었다.

축 위의 점은 사분면에 넣지 않았다

표현을 바꾼 새 문제에서 “점 S는 x축 위에 있고 좌표는 (7, 0)이다”라는 조건이 나왔다. 학생은 x좌표가 양수인 것을 보고 제1사분면이라고 쓰려다가 멈췄다. y좌표가 0이면 점은 위쪽이나 아래쪽이 아니라 x축 위에 있으므로 어느 사분면에도 속하지 않는다는 점을 확인했다.

이번에는 좌표평면에 (7, 0)을 직접 표시했다. 원점에서 오른쪽으로 7만큼 간 위치에 점을 찍자, 사분면의 경계인 축 위에 있다는 사실이 분명해졌다. 부호만 빠르게 읽는 것이 아니라 0이 포함된 경우에는 축 위인지 먼저 판단해야 한다는 기준을 세웠다.

힌트 없이 풀이를 다시 세운 기록

숙제에서 도움 없이 다음 문제를 풀었다. “점 T는 제4사분면에 있고 y좌표는 -4, x좌표의 절댓값은 3이다.” 학생은 제4사분면이 오른쪽 아래라는 점을 먼저 떠올려 x좌표는 양수, y좌표는 음수라고 설명했다. 따라서 x좌표는 3, y좌표는 -4이므로 T(3, -4)라고 작성했다.

그 뒤 좌표평면에 원점을 표시하고 오른쪽 3, 아래쪽 4만큼 이동해 T를 찍었다. 점이 실제로 제4사분면에 놓이는지 확인한 후, “좌표는 x를 먼저 쓰고 y를 다음에 쓰며, 각 부호는 점의 방향을 결정한다. 단, 좌표가 0이면 사분면이 아니라 축 위에 있다”라고 풀이 근거를 한 줄로 정리했다. 처음의 잘못된 (2, 4)를 스스로 (4, 2)로 바로잡은 이유까지 설명하면서, 문장과 표와 그림이 달라져도 같은 좌표 판단을 재현했다.