학성동 고2수학과외







경계값을 확인했는데도 정리를 바로 써도 될까?
닫힌구간에서 함수의 최댓값과 최솟값을 판단할 때는 먼저 구간과 연속성을 확인해야 합니다. 학성동과외에서 이 단원을 다룰 때도 결론보다 정리의 전제를 먼저 점검하도록 훈련합니다.
학생 풀이 기록
문제: 함수 \(f(x)=\begin{cases}x+1&(0\le x<1)\\0&(x=1)\end{cases}\)가 \([0,1]\)에서 최댓값과 최솟값을 갖는지 판단하시오.
학생은 “정의역이 닫힌구간 \([0,1]\)이므로 최대최소 정리에 따라 최댓값과 최솟값을 갖는다”고 답했습니다.
하지만 \(x=1\)에서 좌극한은 \(2\), 함수값은 \(0\)이므로 연속이 아닙니다. 따라서 최대최소 정리의 전제를 만족하지 않습니다.
정리의 적용 조건을 다시 세우기
닫힌구간만으로는 충분하지 않다
최대최소 정리는 함수가 닫힌구간 \([a,b]\)에서 연속일 때 최댓값과 최솟값을 반드시 갖는다는 정리입니다. 구간이 닫혀 있어도 함수가 불연속이면 정리를 적용할 수 없습니다.
정리를 쓸 수 없는 것과 값이 존재하지 않는 것은 다르다
위 함수는 불연속이므로 정리를 사용할 수 없습니다. 실제 함수값을 살펴보면 \(x<1\)에서 \(f(x)=x+1\)이므로 값은 \(1\)보다 크거나 같고 \(2\)보다 작습니다. \(f(1)=0\)이므로 최솟값은 \(0\)이지만, \(2\)는 얻지 못합니다. 따라서 최댓값은 존재하지 않습니다.
비교로 확인하는 판단 기준
| 조건 | 판단 |
|---|---|
| 닫힌구간에서 연속 | 최댓값과 최솟값이 반드시 존재 |
| 닫힌구간이지만 불연속 | 최대최소 정리 적용 불가 |
| 연속이지만 열린구간 | 최댓값 또는 최솟값이 없을 수 있음 |
불연속이어도 값이 우연히 존재할 수 있다
\(g(x)=\begin{cases}0&(0\le x<\frac12)\\1&(\frac12\le x\le1)\end{cases}\)는 \(x=\frac12\)에서 불연속입니다. 그러나 최솟값 \(0\)과 최댓값 \(1\)은 실제로 존재합니다. 그러므로 “정리를 적용할 수 없다”는 말과 “최대·최솟값이 없다”는 말은 구별해야 합니다.
문제 풀이에서는 ① 정의역이 닫힌구간인지, ② 그 구간 전체에서 연속인지, ③ 두 조건을 모두 만족할 때 정리의 결론을 사용하는지 순서대로 확인하면 됩니다.