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학성동 고2수학과외

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경계값을 확인했는데도 정리를 바로 써도 될까?

닫힌구간에서 함수의 최댓값과 최솟값을 판단할 때는 먼저 구간과 연속성을 확인해야 합니다. 학성동과외에서 이 단원을 다룰 때도 결론보다 정리의 전제를 먼저 점검하도록 훈련합니다.

학생 풀이 기록

문제: 함수 \(f(x)=\begin{cases}x+1&(0\le x<1)\\0&(x=1)\end{cases}\)가 \([0,1]\)에서 최댓값과 최솟값을 갖는지 판단하시오.

학생은 “정의역이 닫힌구간 \([0,1]\)이므로 최대최소 정리에 따라 최댓값과 최솟값을 갖는다”고 답했습니다.

하지만 \(x=1\)에서 좌극한은 \(2\), 함수값은 \(0\)이므로 연속이 아닙니다. 따라서 최대최소 정리의 전제를 만족하지 않습니다.

정리의 적용 조건을 다시 세우기

닫힌구간만으로는 충분하지 않다

최대최소 정리는 함수가 닫힌구간 \([a,b]\)에서 연속일 때 최댓값과 최솟값을 반드시 갖는다는 정리입니다. 구간이 닫혀 있어도 함수가 불연속이면 정리를 적용할 수 없습니다.

정리를 쓸 수 없는 것과 값이 존재하지 않는 것은 다르다

위 함수는 불연속이므로 정리를 사용할 수 없습니다. 실제 함수값을 살펴보면 \(x<1\)에서 \(f(x)=x+1\)이므로 값은 \(1\)보다 크거나 같고 \(2\)보다 작습니다. \(f(1)=0\)이므로 최솟값은 \(0\)이지만, \(2\)는 얻지 못합니다. 따라서 최댓값은 존재하지 않습니다.

비교로 확인하는 판단 기준

조건판단
닫힌구간에서 연속최댓값과 최솟값이 반드시 존재
닫힌구간이지만 불연속최대최소 정리 적용 불가
연속이지만 열린구간최댓값 또는 최솟값이 없을 수 있음

불연속이어도 값이 우연히 존재할 수 있다

\(g(x)=\begin{cases}0&(0\le x<\frac12)\\1&(\frac12\le x\le1)\end{cases}\)는 \(x=\frac12\)에서 불연속입니다. 그러나 최솟값 \(0\)과 최댓값 \(1\)은 실제로 존재합니다. 그러므로 “정리를 적용할 수 없다”는 말과 “최대·최솟값이 없다”는 말은 구별해야 합니다.

문제 풀이에서는 ① 정의역이 닫힌구간인지, ② 그 구간 전체에서 연속인지, ③ 두 조건을 모두 만족할 때 정리의 결론을 사용하는지 순서대로 확인하면 됩니다.

한 단원의 개념들이 따로 기억될 때

정의, 성질, 예제를 각각 외운 뒤 연결하지 못한다면 예제의 한 줄이 어떤 성질을 사용했는지 표시해 보세요. 개념 정리표를 크게 만드는 것보다 실제 풀이와 연결된 짧은 표시가 도움이 될 수 있습니다. 현재 단원에서 자주 쓰는 관계부터 시작해 보세요.

가정과 결론을 나누어 표시하기

보여야 할 결론을 이미 성립하는 조건처럼 사용하지 않았는지 확인해 보세요. 증명이나 설명을 요구하는 문제에서는 출발점과 도착점을 구분하는 것이 중요합니다. 현재 배우는 성질을 적용해 어느 방향으로 설명을 이어 갔는지 답안을 따라가 볼 수 있습니다.

현재 학습에서 함께 살펴볼 범위

고등 수학

현재 수강 과목과 시험 범위를 먼저 확인하고 개념, 식의 변형, 함수와 그래프, 문제 조건의 해석을 연결합니다. 선택 과목은 실제 이수 범위에 맞춰 준비하며 내신 답안과 모의고사 풀이 시간은 구분해 점검합니다.

고2 점검 기준

실제 수강하는 선택 과목과 학교 평가 범위를 확인합니다. 모든 학생에게 같은 선택 과목의 내용을 적용하지 않습니다.

수업 진행 예시

선택 과목: 변화율의 의미

미분을 배우는 과목을 수강한다면 f(x) = x³에서 f′(x) = 3x²를 구하고 x = 1에서의 순간변화율이 3임을 확인합니다. 계산 규칙을 적용하는 것과 그래프에서 변화율을 해석하는 것을 구분합니다.

선택 과목: 확률의 조건

확률을 배우는 과목을 수강한다면 공정한 주사위에서 짝수가 나올 확률을 3/6 = 1/2로 구합니다. 가능한 결과가 같은 가능성을 갖는다는 조건을 확인한 뒤 전체 경우와 해당 경우를 구분합니다.

위 내용은 지도 범위와 연습 방법을 설명하는 예시입니다. 학생이 이미 배운 내용과 현재 진도에 맞춰 적용하며, 모든 내용을 한 수업에서 진행하지 않습니다.

수업 진행 안내

상담 → 선생님 연결 → 첫 수업 → 정규 수업

학생의 학습 상황을 상담하고, 선생님과 수업 방식이 맞는지 확인한 뒤 시간·횟수·비용을 정합니다. 숙제 확인과 보호자 피드백은 학생별로 조율하며, 보강과 일정·선생님 변경이 가능합니다.

고등 과외 수업료

월 수업료 · 주 2회 기준
학교급방문 수업화상 수업
고등33~50만 원30~46만 원

회당 수업 시간에 따라 금액이 달라집니다. 주당 횟수와 회당 시간, 최종 월 수업료는 상담에서 정합니다.

주 1회부터 주 3회 이상까지 횟수를 조율할 수 있습니다. 같은 회당 시간으로 주 1회 진행할 경우, 위 주 2회 금액의 절반이 기준입니다.

학년별 개념과 연습 함께 보기

이 지역의 학습 예시와 함께 현재 학년의 공부 방법을 살펴보세요.

고2 수학 학습 가이드 →

학성동 고2수학과외 수업 후기

학교 숙제 제출 전날이라 책상 위가 꽤 어수선했는데, 펼쳐진 문제집에서 그래프의 교점 위치만 동그랗게 따로 표시해 둔 게 보였어요. 예전에는 계산한 식과 답만 적고 그래프 쪽은 손대지 않는 편이었거든요. 학성동 수학과외 이야기를 나누던 때에도 이런 부분을 눈여겨봤는데, 이번에는 결과를 적는 데서 멈추지 않았더라고요. 계산한 교점을 그래프 위에 다시 찍어 보고, 그 위치가 식에서 나온 결과와 맞는지 직접 대조하고 있었습니다. 답만 맞으면 넘어가던 모습과는 조금 달랐어요. 긴 문장이 섞인 다른 문제를 풀 때도 계산이 끝난 교점을 그래프에 표시해 두고, 확인한 부분과 아직 살펴보지 않은 곳을 나눠 놓았어요. 종이에 남은 표시만 봐도 어디까지 검토했는지가 구분됐습니다.

★★★★★수업 후기

주말에 시험 범위를 다시 펼쳐 놓았는데, 함수 문제에서 식과 그래프를 옆에 두고 한참 비교하더라고요. 필요한 부분만 체크하고 자료를 정리하는 모습까지 이어져서 잠깐 지켜봤어요. 학성동 수학과외를 찾아보던 때에도 이런 장면을 본 건 아니어서 더 눈에 띄었습니다. 단원평가를 본 날에는 책상이 어수선했는데, 아이가 함수 문제의 그래프를 직접 다시 그려 식과 맞춰 보고 있었습니다. 전에는 공부를 끝내면 그날 살펴보지 못한 부분까지 그대로 덮어 두는 일이 많았거든요. 그런데 이번에는 식과 그래프가 같은 조건을 나타내는지 나란히 놓고 확인한 뒤, 필요한 한 군데에만 표시를 남겼어요.

★★★★★수업 후기

주말마다 계획을 세워도 막히는 문제가 나오면 금세 지치던 아이가, 학성동 수학 수업을 다닌 뒤에는 먼저 지난 숙제와 복습할 부분을 스스로 확인합니다. 선생님은 정답을 재촉하기보다 풀이 과정을 말하게 하며 부담이 커지지 않도록 진도를 조절해 주셨고, 시험 전에도 새 문제만 늘리지 않고 부족한 부분을 차분히 살펴 주셨습니다. ઘરે?

★★★★★수업 후기

학성동 수학과외를 시작한 뒤 아이가 수업이 끝나면 오늘 틀린 문제부터 다시 펼쳐보는 모습이 보였습니다. 선생님께서는 밀린 숙제를 한꺼번에 내주지 않고 우선순위를 정해 부담을 줄여 주셨고, 질문이 서툰 아이도 편하게 따라가도록 살펴주셨습니다. 무엇을 복습해야 할지 스스로 아는 변화가 반가웠습니다.

★★★★★수업 후기

학교 과제와 과외 숙제가 겹치면 아이가 완벽하게 해내려는 마음에 시험 전 새 문제만 붙잡고 있었습니다. 학성동에서 수업을 받으며 선생님은 그날 할 수 있는 문제부터 차분히 시작하고, 설명 속도보다 이해했는지 살펴주셨어요. 요즘은 답이 틀려도 바로 포기하지 않고 한 번 더 확인하는 모습이 보여 마음이 놓입니다.

★★★★☆수업 후기

학생별 1:1 수업 안내

수업은 학생별 1:1로 진행하며, 현재 학습 상태와 목표에 따라 수업 내용을 달리합니다.