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학성동 고2수학과외

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경계값을 확인했는데도 정리를 바로 써도 될까?

닫힌구간에서 함수의 최댓값과 최솟값을 판단할 때는 먼저 구간과 연속성을 확인해야 합니다. 학성동과외에서 이 단원을 다룰 때도 결론보다 정리의 전제를 먼저 점검하도록 훈련합니다.

학생 풀이 기록

문제: 함수 \(f(x)=\begin{cases}x+1&(0\le x<1)\\0&(x=1)\end{cases}\)가 \([0,1]\)에서 최댓값과 최솟값을 갖는지 판단하시오.

학생은 “정의역이 닫힌구간 \([0,1]\)이므로 최대최소 정리에 따라 최댓값과 최솟값을 갖는다”고 답했습니다.

하지만 \(x=1\)에서 좌극한은 \(2\), 함수값은 \(0\)이므로 연속이 아닙니다. 따라서 최대최소 정리의 전제를 만족하지 않습니다.

정리의 적용 조건을 다시 세우기

닫힌구간만으로는 충분하지 않다

최대최소 정리는 함수가 닫힌구간 \([a,b]\)에서 연속일 때 최댓값과 최솟값을 반드시 갖는다는 정리입니다. 구간이 닫혀 있어도 함수가 불연속이면 정리를 적용할 수 없습니다.

정리를 쓸 수 없는 것과 값이 존재하지 않는 것은 다르다

위 함수는 불연속이므로 정리를 사용할 수 없습니다. 실제 함수값을 살펴보면 \(x<1\)에서 \(f(x)=x+1\)이므로 값은 \(1\)보다 크거나 같고 \(2\)보다 작습니다. \(f(1)=0\)이므로 최솟값은 \(0\)이지만, \(2\)는 얻지 못합니다. 따라서 최댓값은 존재하지 않습니다.

비교로 확인하는 판단 기준

조건판단
닫힌구간에서 연속최댓값과 최솟값이 반드시 존재
닫힌구간이지만 불연속최대최소 정리 적용 불가
연속이지만 열린구간최댓값 또는 최솟값이 없을 수 있음

불연속이어도 값이 우연히 존재할 수 있다

\(g(x)=\begin{cases}0&(0\le x<\frac12)\\1&(\frac12\le x\le1)\end{cases}\)는 \(x=\frac12\)에서 불연속입니다. 그러나 최솟값 \(0\)과 최댓값 \(1\)은 실제로 존재합니다. 그러므로 “정리를 적용할 수 없다”는 말과 “최대·최솟값이 없다”는 말은 구별해야 합니다.

문제 풀이에서는 ① 정의역이 닫힌구간인지, ② 그 구간 전체에서 연속인지, ③ 두 조건을 모두 만족할 때 정리의 결론을 사용하는지 순서대로 확인하면 됩니다.

학성동 고2수학과외 학부모 후기

방학 중 다른 교재를 펼쳐 보던 오전, 아이가 해설부터 찾지 않고 자기 계산 과정을 한 줄씩 먼저 따라가더라고요. 필요한 부분에만 간단히 흔적을 남겨 두고는 그 자리에서 공부를 마쳤습니다. 학성동 수학과외 이야기를 나누던 중에도 이런 장면이 떠올랐어요. 학교에서 돌아온 어느 오후에는 책상 앞에 앉아 잠깐 문제집을 넘기더니, 답지를 펼치지 않은 채 앞서 적어 둔 계산을 거꾸로 살펴보고 있었습니다. 예전에는 맞았는지 틀렸는지만 표시해 두는 편이었는데, 이날은 결과보다 계산이 이어진 과정을 확인하는 모습이 먼저 보이더라고요.

★★★★★학부모 후기

모의고사 성적표를 받아온 날, 공부를 다 끝냈다며 문제집을 치우려던 아이가 계산이 길었던 문제를 다시 펼쳤어요. 처음부터 전부 지우고 풀 줄 알았는데, 풀이를 살펴보더니 틀린 줄 바로 앞에 손을 대고 그 지점부터 다시 계산하더라고요. 학성동 수학과외를 찾아보던 중에도 이런 장면이 눈에 들어오니 저도 잠시 멈춰서 보게 됐어요. 예전에는 한 부분이 헷갈려도 이미 푼 계산을 다시 꺼내 확인하는 일이 거의 없었거든요. 답을 맞히는 데만 신경 쓰고 지나가는 모습과는 달랐습니다. 전체 풀이를 처음부터 반복하지 않고, 오류가 시작된 곳을 찾아 이어서 보는 방식이었어요. 시험 전 마지막 복습 시간에도 비슷한 계산에서 같은 지점을 먼저 찾았습니다. 확인할 문제는 다른 풀이와 섞이지 않도록 따로 남겨 두었고, 이번에는 어디부터 다시 볼지 스스로 구분해 놓았어요.

★★★★★학부모 후기

주말에 단어장을 다시 펼쳐 놓은 아이가 숫자부터 훑지 않고 조건 문장에 먼저 눈을 두더라고요. 어디를 다시 봤는지 알 수 있게 정리해 둔 부분도 바로 보이더라고요. 수학 문제를 볼 때와 똑같은 모습이라 조금 의외였습니다. 학교 보충수업을 다녀온 날에는 공부를 마친 뒤 문제를 한 번 더 읽고 있더라고요. 숫자에 표시할 거라고 생각했는데, 수치보다 조건이 담긴 문장에 먼저 표시를 남겼습니다. 예전에는 복습할 때 범위를 스스로 정하기보다는 그날 배운 내용을 처음부터 다시 훑는 편이었거든요. 학성동 수학과외를 알아보던 중 보게 된 장면인데, 이번에는 어디를 확인해야 할지 표시부터 달라져 있었습니다.

★★★★★학부모 후기

시험 범위를 함께 확인하던 날, 아이가 틀린 문제를 숨기지 않고 어디서 막혔는지 먼저 보여 주어 기억에 남았습니다. 학성동 수학과외 선생님은 답을 재촉하지 않고 생각할 시간을 충분히 주면서, 평일 숙제에서도 틀린 문제를 다시 살펴보도록 차분히 이끌어 주셨습니다. 요즘은 수업이 있는 날에도 예전처럼 부담스러워하지 않습니다.

★★★★★학부모 후기

시험을 보고 돌아온 아이가 평소보다 조용해 시험 부담이 컸다는 걸 느꼈습니다. 학성동 수학과외 선생님은 막힌 문제를 처음 어긋난 부분부터 짚고, 그날 할 일과 다음 복습을 나눠 안내해 주셨습니다. 이제는 모르는 점을 선생님께 먼저 묻고 수업 내용을 집에서도 이야기합니다.

★★★★★학부모 후기

학성동에서 수학 과외를 시작한 뒤, 주말마다 아이가 먼저 이번 주에 복습할 내용을 적어두는 모습이 눈에 띄었습니다. 예전에는 막힌 문제를 표시만 해두었지만, 선생님이 정답보다 풀이 과정을 말해보게 하고 부담 없이 막힌 부분을 함께 찾아주셔서 이제는 틀린 문제도 다시 살펴보려 합니다.

★★★★★학부모 후기