학성동 고등수학과외

학성동 고등수학과외에서 연속을 다룰 때 학생들이 자주 놓치는 지점은 극한 계산 자체보다 함수값과 극한값을 연결하는 순서다. 학성타운과 복산육거리 주변 학교 학생과 수업하다 보면, 식을 약분해 극한을 구한 뒤 곧바로 “따라서 함수값도 2”라고 적는 장면을 볼 수 있다. 그러나 약분은 x≠1인 구간에서만 가능하며, x=1에서의 함수값은 따로 정해져 있을 수 있다.

x가 1로 다가갈 때 무엇을 먼저 확인하는가

예를 들어 다음 함수를 살펴보자.

f(x)=(x²-1)/(x-1) (x≠1), f(1)=a

학생은 처음에 x²-1을 (x-1)(x+1)로 바꾼 뒤 “f(1)=2이므로 a=2”라고 썼다. 여기서 첫 오류가 생긴다. 약분한 식 x+1은 x=1에서의 원래 함수값을 알려 주는 식이 아니다. x가 1이 아닌 곳에서 함수가 어떻게 움직이는지만 보여 줄 뿐이다.

첫 오류가 발생한 순간을 다시 표시하기

풀이를 멈추고 세 칸을 나누어 적었다.

좌극한: x가 1보다 작은 쪽에서 f(x)가 어디로 가는가
우극한: x가 1보다 큰 쪽에서 f(x)가 어디로 가는가
함숫값: 실제로 x=1을 넣었을 때 정해진 값은 무엇인가

좌우에서 x+1로 정리되므로 좌극한과 우극한은 각각 2이다. 따라서 극한값은 2까지 확정된다. 하지만 f(1)=a이므로 연속 조건을 적용하기 전까지 함숫값은 a로 남겨야 한다. 연속이 되려면 극한값과 함숫값이 같아야 하므로 a=2라는 결론이 그때 비로소 나온다.

식의 약분은 극한값을 구하는 단계이고, 원래 식에 정해진 함수값을 확인하는 단계와는 분리해야 한다.

두 접근을 나란히 놓고 근거를 남기기

같은 문제를 두 방식으로 풀게 했다. 첫 번째는 좌우극한을 각각 계산한 뒤 연속 조건을 쓰는 방법이다. 두 번째는 x≠1에서 f(x)=x+1임을 확인하고, x=1에서의 값 a와 비교하는 방법이다. 두 풀이 모두 극한값 2와 함수값 a를 연결해야 한다는 점에서 만난다. 학생은 답만 지우고 다시 쓰는 대신, “약분된 식은 주변의 값, a는 해당 점의 값”이라는 문장을 풀이 옆에 기록했다.

이 기록은 다음 문제에서 항 번호나 공식 이름을 외우지 않고도 판단하는 데 도움이 된다. 연속 조건을 먼저 선언한 뒤 계산하는 습관을 줄이고, 극한과 함수값을 따로 확보한 다음 마지막에 비교하게 하는 방식이다.

조건을 바꾼 새 문제에서 혼자 적용하기

이제 x가 1이 아닌 곳에서

g(x)=(x²-4)/(x-2), g(2)=b

로 정의된 함수를 제시했다. 이번에는 풀이 순서를 알려 주지 않았다. 학생은 먼저 분자를 인수분해해 x+2를 얻고, x가 2로 다가갈 때의 값이 4임을 적었다. 이어 g(2)는 b라고 따로 표시한 뒤, 연속을 위해 b=4라고 결정했다.

앞 문제와 달리 숫자와 접근점이 바뀌었지만, 약분된 식을 곧바로 해당 점의 함수값으로 읽지 않았다. 좌우에서 모두 4로 다가가는지도 직접 확인해 극한의 존재를 점검했다.

표로 끝내는 최종 검증

마지막에는 답을 다시 원래 정의에 대입했다. b=4일 때 g(2)=4이고, x≠2인 주변에서는 g(x)=x+2이므로 x가 2로 갈수록 4에 가까워진다. 좌극한, 우극한, 함숫값을 표로 쓰면 다음처럼 정리된다.

좌극한: 4
우극한: 4
함숫값: 4

세 값이 모두 같으므로 x=2에서 연속이다. 반대로 b를 5로 두면 좌우극한은 여전히 4지만 함숫값만 5가 되어 연속이 아니다. 이 반례까지 확인하면서 학생은 “극한이 존재한다”와 “함수가 연속이다”가 같은 말이 아님을 스스로 검증했다.

자주 묻는 질문

약분한 뒤 바로 해당 점을 대입해도 되나요?
약분 과정에서 제외된 점이라면 안 된다. 그 식은 해당 점 주변의 변화만 나타낸다.
좌극한과 우극한이 같으면 연속인가요?
그것만으로는 부족하다. 그 공통 극한값이 실제 함숫값과도 같아야 한다.
함숫값이 따로 주어지지 않으면 어떻게 하나요?
연속 조건을 만족시키는 값이나 매개변수를 미지수로 두고 극한값과 비교한다.
표를 꼭 작성해야 하나요?
필수 형식은 아니지만 좌극한·우극한·함숫값을 분리해 확인하는 데 효과적이다.