학성동 고1수학과외
학성동 고1수학과외, 곱셈공식 변형에서 풀이 순서를 선택하는 연습
학성동에서 수학 과제를 풀던 학생은 이차식의 근의 합과 곱을 이용해 원래 식을 복원하는 문제에서 답의 부호를 자주 바꾸었다. 근을 구한 뒤 식을 만들 때 중간 표시를 생략한 것이 문제의 출발점이었다.
근의 정보가 식으로 바뀌는 순간
두 근이 2와 -3이라면 근의 합은 -1, 근의 곱은 -6이다. 따라서 두 근을 갖는 이차방정식은
x²-(근의 합)x+근의 곱=0
에 따라 x²+x-6=0으로 복원된다. 학생은 곱이 -6이라는 사실만 보고 x²-x-6으로 적었지만, 근의 합에 붙는 부호가 반대라는 점을 놓쳤다.
부호를 근과 연결해 다시 세우기
이후에는 근의 합과 곱을 따로 적은 뒤, 실제 근을 곱한 식인 (x-2)(x+3)으로 한 번 전개하게 했다. 전개 결과 x²+x-6이 나오므로, 근의 합이 -1일 때 x의 계수가 1이 되는 이유도 함께 확인할 수 있었다. 핵심은 공식을 외워 바로 대입하는 대신 근을 인수의 형태로 먼저 연결하는 것이었다.
조건을 바꾼 적용
이번에는 두 근 자체를 주지 않고 한 근이 2이며 다른 근과의 합이 -1이라는 조건을 제시했다. 학생은 다른 근을 -3으로 정한 뒤, 두 근의 곱과 합을 이용해 이차식을 만들었다. 숫자만 바꾼 문제가 아니라 근 하나와 합의 관계를 식으로 전환해야 했기에, 이전의 부호 판단을 새로운 표현에 적용할 수 있었다.
조건이 충분한지 확인한 방법
마지막에는 근의 합만 주어진 경우를 제시했다. 학생은 합만으로는 두 근의 곱이 정해지지 않으므로 이차식이 하나로 결정되지 않는다고 판단했다. 실제로 합이 -1인 근의 조합은 여러 개가 가능하므로, 곱 또는 추가 조건이 필요하다는 결론을 세웠다.
풀이 순서를 선택할 때 계산을 빠르게 끝내는 것보다, 근의 합·곱과 이차식의 계수가 어떻게 연결되는지 중간 식으로 남기는 습관이 부호 오류를 줄여 주었다.